أساليب رونج - كوتا للحل العددي للمعادلة التفاضلية .[ 1]
d
y
d
t
=
f
(
t
,
y
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=f(t,y)}
والتي تأخذ شكل:
y
n
+
1
=
y
n
+
h
∑
i
=
1
s
b
i
k
i
{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i}}
k
1
=
f
(
t
n
,
y
n
)
{\displaystyle k_{1}=f(t_{n},y_{n})}
k
2
=
f
(
t
n
+
c
2
h
,
y
n
+
h
(
a
21
k
1
)
)
{\displaystyle k_{2}=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+h(a_{21}k_{1}))}
k
3
=
f
(
t
n
+
c
3
h
,
y
n
+
h
(
a
31
k
1
+
a
32
k
2
)
)
{\displaystyle k_{3}=f(t_{n}+c_{3}h,y_{n}+h(a_{31}k_{1}+a_{32}k_{2}))}
k
i
=
f
(
t
n
+
c
i
h
,
y
n
+
h
∑
j
=
1
i
−
1
a
i
j
k
j
)
{\displaystyle k_{i}=f\left(t_{n}+c_{i}h,y_{n}+h\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}k_{j}\right)}
c
1
a
11
a
12
…
a
1
s
c
2
a
21
a
22
…
a
2
s
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
c
s
a
s
1
a
s
2
…
a
s
s
b
1
b
2
…
b
s
{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\\end{array}}}
الطرق الصريحة هي التي تكون فيها المصفوفة أقل من المصفوفات المثلثية:
0
0
0
1
/
2
1
/
2
0
0
1
{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1/2&1/2&0\\\hline &0&1\\\end{array}}}
طريقة هيون هي طريقة من الدرجة الثانية مع مرحلتين (المعروفة باسم شبه منحرف صريح):
0
0
0
1
1
0
1
/
2
1
/
2
{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}
طريقة رالستون هي طريقة من الدرجة الثانية مع مرحلتين والحد الأدنى وضع خطأ مقيد:
0
0
0
2
/
3
2
/
3
0
1
/
4
3
/
4
{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\2/3&2/3&0\\\hline &1/4&3/4\\\end{array}}}
عدل
0
0
0
x
x
0
1
−
1
2
x
1
2
x
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0\\x&x&0\\\hline &1-{\frac {1}{2x}}&{\frac {1}{2x}}\\\end{array}}}
0
0
0
0
1
/
2
1
/
2
0
0
1
−
1
2
0
1
/
6
2
/
3
1
/
6
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&1/2&0&0\\1&-1&2&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}}
عدل
وهي الطريقة «الأصلية» لطريقة رونج-كوتا .
0
0
0
0
0
1
/
2
1
/
2
0
0
0
1
/
2
0
1
/
2
0
0
1
0
0
1
0
1
/
6
1
/
3
1
/
3
1
/
6
{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}0&0&0&0&0\\1/2&1/2&0&0&0\\1/2&0&1/2&0&0\\1&0&0&1&0\\\hline &1/6&1/3&1/3&1/6\\\end{array}}}
عدل
هذا الأسلوب مشابه للطريقة التقليدية وتم اقتراحه في نفس الورقة العلمية (كوتا 1901).
0
0
0
0
0
1
/
3
1
/
3
0
0
0
2
/
3
−
1
/
3
1
0
0
1
1
−
1
1
0
1
/
8
3
/
8
3
/
8
1
/
8
{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}0&0&0&0&0\\1/3&1/3&0&0&0\\2/3&-1/3&1&0&0\\1&1&-1&1&0\\\hline &1/8&3/8&3/8&1/8\\\end{array}}}
تم تصميم الأساليب الضمنية لإنتاج تقدير لخطأ واحد لاقتطاع طريقة رونج-كوتا ، لذلك تسمح بالتحكم في الخطأ ويتم ذلك من خلال وجود طريقتين. طريقة مع النظام ( ص ) والثانية مع النظام (ص-1 ).
يتم إعطاء خطوة أقل من قبل:
y
n
+
1
∗
=
y
n
+
h
∑
i
=
1
s
b
i
∗
k
i
,
{\displaystyle y_{n+1}^{*}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}^{*}k_{i},}
e
n
+
1
=
y
n
+
1
−
y
n
+
1
∗
=
h
∑
i
=
1
s
(
b
i
−
b
i
∗
)
k
i
,
{\displaystyle e_{n+1}=y_{n+1}-y_{n+1}^{*}=h\sum _{i=1}^{s}(b_{i}-b_{i}^{*})k_{i},}
c
1
a
11
a
12
…
a
1
s
c
2
a
21
a
22
…
a
2
s
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
c
s
a
s
1
a
s
2
…
a
s
s
b
1
b
2
…
b
s
b
1
∗
b
2
∗
…
b
s
∗
{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\&b_{1}^{*}&b_{2}^{*}&\dots &b_{s}^{*}\\\end{array}}}
أبسط طريقة للتعامل مع طريقة رونج-كوتا تنطوي على الجمع بين طريقة هيون وهو أمر 2 مع طريقة يولر وهو أمر 1 وهي بالشكل التالي:
0
1
1
1
/
2
1
/
2
1
0
{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&\\1&1\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\end{array}}}
يتم استخدام تقدير الخطأ للسيطرة على حجم الخطوة.
طريقة فلبرج [ 2]
0
1/2
1/2
1
1/256
255/256
1/256
255/256
0
1/512
255/256
1/512
الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الأول من الدرجة الأولى، والصف الثاني يعطي الحل الثاني.
طريقة بوجاكي - شامبين لديها طريقتين من الأوامر 2 و 3 :
0
1/2
1/2
3/4
0
3/4
1
2/9
1/3
4/9
2/9
1/3
4/9
0
7/24
1/4
1/3
1/8
الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الثالث، والصف الثاني يعطي الحل الثاني.
طريقة فلبرج لديها طريقتين من الأوامر 4 و 5 :
0
1/4
1/4
3/8
3/32
9/32
12/13
1932/2197
−7200/2197
7296/2197
1
439/216
−8
3680/513
−845/4104
1/2
-8/27
2
−3544/2565
1859/4104
−11/40
16/135
0
6656/12825
28561/56430
−9/50
2/55
25/216
0
1408/2565
2197/4104
−1/5
0
الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الخامس، والصف الثاني يعطي الحل الرابع.
طريقة كاش - كارب وهي عبارة تعديل في طريقة فلبرج:
0
1/5
1/5
3/10
3/40
9/40
3/5
3/10
−9/10
6/5
1
−11/54
5/2
−70/27
35/27
7/8
1631/55296
175/512
575/13824
44275/110592
253/4096
37/378
0
250/621
125/594
0
512/1771
2825/27648
0
18575/48384
13525/55296
277/14336
1/4
الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الخامس، والصف الثاني يعطي الحل الرابع.
0
1/5
1/5
3/10
3/40
9/40
4/5
44/45
−56/15
32/9
8/9
19372/6561
−25360/2187
64448/6561
−212/729
1
9017/3168
−355/33
46732/5247
49/176
−5103/18656
1
35/384
0
500/1113
125/192
−2187/6784
11/84
35/384
0
500/1113
125/192
−2187/6784
11/84
0
5179/57600
0
7571/16695
393/640
−92097/339200
187/2100
1/40
الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الخامس. والصف الثاني يعطي الحل الرابع.
هي عبارة عن الترتيب الأول. مستقرة وغير مشروطة وغير متذبذبة لمشاكل الانتشار الخطية.
1
1
1
{\displaystyle {\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}}
وهي طريقة منتصف الطريق الضمني وهي من الدرجة الثانية وتعتبر أبسط طريقة في فئة طرق التجميع المعروفة باسم طرق غاوس .
1
/
2
1
/
2
1
{\displaystyle {\begin{array}{c|c}1/2&1/2\\\hline &1\end{array}}}
وتستند هذه طرق على نقاط غاوس-ليجيندر التربيعي. مثال على ذلك من النظام الرابع:
1
2
−
3
6
1
4
1
4
−
3
6
1
2
+
3
6
1
4
+
3
6
1
4
1
2
1
2
1
2
+
1
2
3
1
2
−
1
2
3
{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\&{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\\\end{array}}}
مثال على طريقة غاوس-ليجيندر من النظام ستة:
1
2
−
15
10
5
36
2
9
−
15
15
5
36
−
15
30
1
2
5
36
+
15
24
2
9
5
36
−
15
24
1
2
+
15
10
5
36
+
15
30
2
9
+
15
15
5
36
5
18
4
9
5
18
−
5
6
8
3
−
5
6
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {15}}{10}}&{\frac {5}{36}}&{\frac {2}{9}}-{\frac {\sqrt {15}}{15}}&{\frac {5}{36}}-{\frac {\sqrt {15}}{30}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {5}{36}}+{\frac {\sqrt {15}}{24}}&{\frac {2}{9}}&{\frac {5}{36}}-{\frac {\sqrt {15}}{24}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {15}}{10}}&{\frac {5}{36}}+{\frac {\sqrt {15}}{30}}&{\frac {2}{9}}+{\frac {\sqrt {15}}{15}}&{\frac {5}{36}}\\\hline &{\frac {5}{18}}&{\frac {4}{9}}&{\frac {5}{18}}\\&-{\frac {5}{6}}&{\frac {8}{3}}&-{\frac {5}{6}}\end{array}}}
هناك ثلاث طرق رئيسية من أساليب لوباتو وهي:
1. طريقة لوباتو IIIA :
هي عبارة عن طريقة التجميع وتعرف باسم المعادلات التفاضلية :
معادلة من نوع أمر 2:
0
0
0
1
1
/
2
1
/
2
1
/
2
1
/
2
1
0
{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}}
معادلة من نوع أمر 4:
0
0
0
0
1
/
2
5
/
24
1
/
3
−
1
/
24
1
1
/
6
2
/
3
1
/
6
1
/
6
2
/
3
1
/
6
−
1
2
2
−
1
2
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&5/24&1/3&-1/24\\1&1/6&2/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}
2. طريقة لوباتو IIIB :
وهي تختلف عن طرق التجميع ولكن يمكن اعتبارها طريقة التجميع المتقطع:
معادلة من نوع أمر 2:
0
1
/
2
0
1
1
/
2
0
1
/
2
1
/
2
1
0
{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/2&0\\1&1/2&0\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}}
معادلة من نوع أمر 4:
0
1
/
6
−
1
/
6
0
1
/
2
1
/
6
1
/
3
0
1
1
/
6
5
/
6
0
1
/
6
2
/
3
1
/
6
−
1
2
2
−
1
2
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&1/6&-1/6&0\\1/2&1/6&1/3&0\\1&1/6&5/6&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}
3. طريقة لوباتو IIIC :
وهي عبارة عن أساليب التجميع المتقطع:
معادلة من نوع أمر 2:
0
1
/
2
−
1
/
2
1
1
/
2
1
/
2
1
/
2
1
/
2
1
0
{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/2&-1/2\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}}
معادلة من نوع أمر 4:
0
1
/
6
−
1
/
3
1
/
6
1
/
2
1
/
6
5
/
12
−
1
/
12
1
1
/
6
2
/
3
1
/
6
1
/
6
2
/
3
1
/
6
−
1
2
2
−
1
2
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&1/6&-1/3&1/6\\1/2&1/6&5/12&-1/12\\1&1/6&2/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}
طرق رادو وهي عبارة عن طريقتين من المعادلات وهي:
1. طريقة رادو IA :
وهي مشابهة لطريقة باكورد يولر
معادلة من نوع أمر 3:
0
1
/
4
−
1
/
4
2
/
3
1
/
4
5
/
12
1
/
4
3
/
4
{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/4&-1/4\\2/3&1/4&5/12\\\hline &1/4&3/4\\\end{array}}}
معادلة من نوع أمر 5:
0
1
9
−
1
−
6
18
−
1
+
6
18
3
5
−
6
10
1
9
11
45
+
7
6
360
11
45
−
43
6
360
3
5
+
6
10
1
9
11
45
+
43
6
360
11
45
−
7
6
360
1
9
4
9
+
6
36
4
9
−
6
36
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&{\frac {1}{9}}&{\frac {-1-{\sqrt {6}}}{18}}&{\frac {-1+{\sqrt {6}}}{18}}\\{\frac {3}{5}}-{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {43{\sqrt {6}}}{360}}\\{\frac {3}{5}}+{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {43{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}\\\hline &{\frac {1}{9}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}\\\end{array}}}
2. طريقة رادو IIA :
وهي مشابهة لطريقة غاوس-ليجيندر
معادلة من نوع أمر 3:
1
/
3
5
/
12
−
1
/
12
1
3
/
4
1
/
4
3
/
4
1
/
4
{\displaystyle {\begin{array}{c|cc}1/3&5/12&-1/12\\1&3/4&1/4\\\hline &3/4&1/4\\\end{array}}}
