طريقة رونج-كوتا

طريقة رونج-كوتا تستخدم في التحليل العددي لحل المعادلات التفاضلية.

طريقة رونج-كوتا

معلومات عامة

صنف فرعي من	numerical method in differential equations (en)
سُمِّي باسم	كارل ديفيد تولمي رونجه مارتن ويلهلم كوتا
ممثلة بـ	number of stages (en) number of steps (en)
Butcher tableau	${\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\\end{array}}$

تعريف طريقة رونج-كوتا

كانت طريقة أويلر من الناحية العملية فائدتها قليلة لأنها تتطلب ان تكون قيمه (h) صغيره جدا للحصول علي الدقة الجيده اما طريقة رونج-كوتا فتعطي الدقة الجيده وبجهد اقل حيث لاتحتاج الي حساب المشتقات كما في صيغه أويلر وانما ايجاد قيمه الدالة (f (x ، y عدة مرات لنقاط مختاره لكل فتره من فترات المجال المطلوب. توجد صيغ مختلفه لطريقه رونج-كوتا حيث يوجد أربعة رتب وخمسة رتب وان اكثرها شيوعا واستخداما هي صيغه الرتبة الرابعة حيث تعطي نتائج دقيقه وسهله الاستخدام وان اشتقاقها يعتمد على طريقه أويلر كما يوجد عدة أساليب لطريقة رونج-كوتا.

أمثلة على طريقة رونج-كوتا

مثال توضيحي: صيغه للرتبه الرابعة هي:

(yn=Yn+h/2(k1+2k2+2k3+k4

(k1=f(Xn,yn

(k2=f(Xn+h/2,Yn+h/2k1

(k3=f(Xn+h/2,Yn+h/2k2

(k4=f(Xn+h,Yn+hk3

مثال عملي:

تستخدم طريقة رونخ-كوتا من الرتبة الرابعة لحل المعادلة التفاضلية y‘=x-y/2x من 1-> 1.2 عندما h=0.04 مره، h=0.1 مرة أخرى وأن y0=0.25

الحل:

x0=1 y0=0.25

y1=y0+h/6(k1+2k2+2k3+k4)

ولإيجاد y1 نحسب k1،k2،k3,k4 حيث n=0 أي أن

k1=f(x0,y0)=x0-y0/2x0

f(1,0.25)=1-1.25/(2)(1)=o.875

k2=f(x0+h/2،y0+h/2 k1)

f(1+0.04/2,0.25+0.04/2*0.875)=f(1.02,02675)=o.8889

k3=f(x0+h/2،y0+h/2 k2)

f(1+0.04/2,0.25+0.04/2*0.8889)=f(1.02,02678)=1.02-

o.2678/2*1.o2=o.8889

k4=f(x0+h،y0+hk3)

f(1+0.04,0.25+0.04*0.8889)=f(1.04,02856)=1.04-

o.2856/2*1.o4=o.9027

وعليه فإن:

y1=0.25+0.04/6(0.875+2*0.8889+2*0.8889+0.9027)=o.2856

ولحساب قيم y2 يعاد حساب k1،k2،k3،k4 مرة أخرى مستخدمين y1 وكما يلي:

k1=f(x1،y1)=f(1.04,0.2856)=o.9027

k2=f(x1+h/2،y1+h/2 k1)=f(1.06,0.3037)=o.9167

k3=f(x1+h/2،y1+h/2 k2)=f(1.06,0.3139)=o.9167

k4=f(x1+h،y1+hk3)=f(1.08,0.3223)=o.9308

y2=y1+h/6(k1+2k2+k3+k4)

y2=0.2856+0.04/6(0.9027+2*0.9167+o.9308)=o.3223

انظر أيضاً

• أساليب رونج-كوتا
• طريقة دورمند-برنس
• التحليل العددي