طريقة هيون

طريقة كارل هيون في الرياضيات والعلوم الحسابية تشير إلى تحسين طريقة أو تعديل طريقة يولر قاعدة شبه المنحرفة أو طريقة مماثلة في أساليب رينج-كوتا ذات المرحلتين. وهي عبارة عن إجراء رقمي لحل المعادلات التفاضلية العادية مع قيمة أولية معينة. ويمكن اعتبار كلا المتغيرين امتدادا لطريقة يولر في طريقتين من الدرجة الثانية من أساليب رونج-كوتا.

طريقة هيون

معلومات عامة

سُمِّي باسم	كارل هيون
تعريف الصيغة	${\begin{aligned}{\tilde {y}}_{i+1}&=y_{i}+hf\left(t_{i},y_{i}\right)\\y_{i+1}&=y_{i}+{\frac {h}{2}}\left[f\left(t_{i},y_{i}\right)+f\left(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}\right)\right]\end{aligned}}$
ممثلة بـ	number of stages (en) order of convergence (en)
Butcher tableau	${\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}$
لديه جزء أو أجزاء	طريقة أويلر

خطوات طريقة هيون

الإجراء لحساب الحل العددي لمشكلة القيمة الأولية عن طريق تحسين طريقة يولر هو:

$y'(t)=f(t,y(t)),\qquad \qquad y(t_{0})=y_{0},$

تحسين طريقة يولر عن طريق معادلة هيون على الشكل التالي:

${\tilde {y}}_{i+1}=y_{i}+hf(t_{i},y_{i})$

$y_{i+1}=y_{i}+{\frac {h}{2}}[f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1})],$

وصف طريقة هيون

يتم استخدام طريقة يولر كأساس لطريقة هيون. تستخدم طريقة يولر خط التماس في بداية الفاصل الزمني كتقدير لمنحدر الدالة على الفاصل الزمني، على افتراض أنه إذا كان حجم الخطوة صغير، فسيكون الخطأ صغير. ومع ذلك، حتى عندما يتم استخدام أحجام خطوة صغيرة للغاية، على عدد كبير من الخطوات يبدأ الخطأ في التراكم ويختلف التقدير عن القيمة الفعلية. حيث يكون منحنى الحل مقعرا، فإن خط الظل الخاص به يقلل من الإحداثيات العمودية للنقطة التالية والعكس بالعكس لحل أسفل مقعر.

رسم بياني يوضح استخدام طريقة هيون لإيجاد تنبؤ أقل خطأ عند مقارنته بالترتيب الأدنى لطريقة يولر

نتائج طريقة هيون

${\text{Slope}}_{\text{left}}=f(x_{i},y_{i})$

${\text{Slope}}_{\text{right}}=f(x_{i}+h,y_{i}+hf(x_{i},y_{i}))$

${\text{Slope}}_{\text{ideal}}=(1/2)({\text{Slope}}_{\text{left}}+{\text{Slope}}_{\text{right}})$

وباستخدام مبدأ منحدر الخط = الارتفاع / المدى، يمكن العثور على الإحداثيات باستخدام الصيغة التالية:

${\text{Slope}}_{\text{ideal}}={\frac {\Delta y}{h}}$

$\Delta y=h({\text{Slope}}_{\text{ideal}})$

$x_{i+1}=x_{i}+h$, $\textstyle y_{i+1}=y_{i}+\Delta y$

$y_{i+1}=y_{i}+h{\text{Slope}}_{\text{ideal}}$

$y_{i+1}=y_{i}+{\frac {1}{2}}h({\text{Slope}}_{\text{left}}+{\text{Slope}}_{\text{right}})$

$y_{i+1}=y_{i}+{\frac {h}{2}}(f(x_{i},y_{i})+f(x_{i}+h,y_{i}+hf(x_{i},y_{i})))$

طريقة رونج-كوتا

تحسين طريقة يولر على مرحلتين:

الطريقة الأولى:

	0
	1	1
		1/2	1/2

الطريقة الثانية: وهي المشار إليها باسم طريقة هيون

	0
	2/3	2/3
		1/4	3/4

يقلل هذا الأسلوب خطأ الاقتطاع.

انظر أيضاً

• طريقة دورمند-برنس
• طريقة بوجاكي - شامبين
• طريقة باكورد يولر
• طرق غاوس-ليجندر