قيم جبرية دقيقة لثوابت مثلثية

التعبيرات الجبرية الدقيقة للقيم المثلثية مفيدة في بعض الأحيان، خاصةً لتبسيط الحلول إلى أشكال جذرية تسمح بمزيد من التبسيط.

تكون زوايا الحلول الأولية على شكل (cos , sin) في دائرة الوحدة هي مضاعفات 30 و 45 درجة.

جميع الأعداد المثلثية - الجيب أو جيب التمام من مضاعفات كسرية لـ 360° - هي أعداد جبرية (حلول المعادلات متعددة الحدود مع معاملات صحيحة)؛ زيادة على ذلك، يمكن التعبير عنها بدلالة جذور الأعداد المركبة؛ ولكن ليس كل هذه يمكن التعبير عنها بدلالة جذور حقيقية. عندما تكون كذلك، فهي قابلة للتعبير بشكل أكثر تحديدًا بدلالة الجذور التربيعية.

جميع قيم الجيب، وجيب التمام، وظلال الزوايا متزايدة بـ 3° يمكن تعبير عنها بدلالة الجذور التربيعية، باستخدام المتطابقات (متطابقة نصف الزاوية، ومتطابقة ضعف الزاوية، ومتطابقة إضافة/طرح الزاوية) وباستخدام القيم لـ 0° و 30° و 36° و 45° . بالنسبة لزاوية عدد صحيح بالدرجات التي ليست مضاعفة لـ 3° (π/60 راديان)، لا يمكن التعبير عن قيم الجيب وجيب التمام والمماس بدلالة الجذور الحقيقية.

وفقًا لمبرهنة نيفن، فإن القيم الكسرية الوحيدة لدالة الجيب التي من أجلها تكون عمدتها (argument) عبارة عن عدد كسري من الدرجات هي: 0، و 1/2، و 1، -1/2 و -1.

وفقًا لمبرهنة باكر، إذا كانت قيمة الجيب أو جيب التمام أو الظل جبرية، فإن الزاوية تكون إما عددًا نسبيًّا من الدرجات أو عددًا متساميًا من الدرجات. وبعبارة أخرى، إذا كانت الزاوية عبارة عن عدد جبري من الدرجات، ولكنها غير كسرية، فإن جميع الدوال المثلثية لها قيم متسامية.

جدول بعض الزوايا الشائعة

عدل

عدة وحدات القياس زاوية تستخدم على نطاق واسع، بما في ذلك الدرجات، الراديات، والغراد:

1 دائرة كاملة (دورة) = 360 درجات =  راديان = 400 غراد.

يعرض الجدول التالي التحويلات والقيم لبعض الزوايا الشائعة:

دورات درجات راديان غراد جيب جيب التمام ظل
0 0 0g 0 1 0
1/12 30° π/6
33 1/3g
1/2

3/2

3/3

1/8 45° π/4 50g
2/2
2/2
1
1/6 60° π/3
66 2/3g
3/2
1/2
3
1/4 90° π/2 100g 1 0
1/3 120° 2π/3
133 1/3g
3/2
1/2
3
3/8 135° 3π/4 150g
2/2
2/2
−1
5/12 150° 5π/6
166 2/3g
1/2
3/2
3/3
1/2 180° π 200g 0
−1
0
7/12 210° 7π/6
233 1/3g
1/2
3/2
3/3
5/8 225° 5π/4 250g
2/2
2/2
1
2/3 240° 4π/3
266 2/3g
3/2
1/2
3
3/4 270° 3π/2 300g
−1
0
5/6 300° 5π/3
333 1/3g
3/2
1/2

3

7/8 315° 7π/4 350g
2/2
2/2
−1
11/12 330° 11π/6
366 2/3g
1/2
3/2
3/3
1 360° 2π 400g 0 1 0

زوايا أخرى

عدل
 
الجدول المثلثية الدقيقة لمضاعفات 3 درجات.

0 °: أساسي

عدل
 
 
 
  غير معرف

1.5 °: مئة وعشروني الأضلاع المنتظم (المضلع به 120 ضلع)

عدل
 
 

1.875 °: ست وتسعوني الاضلاع (مضلع ذو 96 ضلعًا)

عدل
 
 

2.25 °: المثمن المنتظم (مضلع به 80 ضلع)

عدل
 
 

2.8125 ° : أربع وستيني الأضلاع المنتظم (مضلع ذو جانبين)

عدل
 
 

3 °: ستيني الأضلاع المنتظم (مضلع به 60 ضلع)

عدل
 
 
 
 

3.75 °: ثماني وأربعيني الأضلاع المنتظم (مضلع ذو 48 ضلعًا)

عدل
 
 

4.5 °: أربعيني الأضلاع المنتظم (مضلع ذو 40 ضلعًا)

عدل
 
 

5.625 °: إثنا وثلاثيني الأضلاع (مضلع ذو 32 ضلعًا)

عدل
 
 

6 °: ثلاثيني الأضلاع المنتظم (مضلع ذو 30 ضلعًا)

عدل
 
 
 
 

7.5 °: أربع وعشريني الأضلاع المنتظم (مضلع ذو 24 ضلعًا)

عدل
 
 
 
 

9 °: عشروني الأضلاع المنتظم (مضلع ذو 20 ضلعًا)

عدل
 
 
 
 

11.25 °: ستة عشري الأضلاع المنتظم

عدل
 
 
 
 

12 °: خمسة عشري الأضلاع المنتظم

عدل
 
 
 
 

15 °: إثنا عشري الأضلاع المنتظم

عدل
 
 
 
 

18 °: عشري الأضلاع منتظم [1]

عدل
 
 
 
 

21 °: مجموع 9 درجة + 12 درجة

عدل
 
 
 
 

22.5 °: المثمن المنتظم

عدل
 
 
 
 

حيث δS هو العدد الفضي.

24 °: مجموع 12 درجة + 12 درجة

عدل
 
 
 
 

27 °: مجموع 12 درجة + 15 درجة

عدل
 
 
 
 

30 °: المسدس المنتظم

عدل
 
 
 
 

33 °: مجموع 15 درجة + 18 درجة

عدل
 
 
 
 

36 °: الخماسي المنتظم

عدل
[1]
 
 

حيث φ هي النسبة الذهبية؛

 
 

39 °: مجموع 18 درجة + 21 درجة

عدل
 
 
 
 

42 °: مجموع 21 درجة + 21 درجة

عدل
 
 
 
 

45 °: مربع

عدل
 
 
 
 

54 °: مجموع 27 درجة + 27 درجة

عدل
 
 
 
 

60 °: مثلث متساوي الأضلاع

عدل
 
 
 
 

67.5 °: مجموع 7.5 درجة + 60 درجة

عدل
 
 
 
 

72 °: مجموع 36 درجة + 36 درجة

عدل
 
 
 
 

75 °: مجموع 30 درجة + 45 درجة

عدل
 
 
 
 

90 °: أساسي

عدل
 
 
  غير معرف
 

قائمة الثوابت المثلثية لـ 2π/n

عدل

بالنسبة إلى الجذور التكعيبية للأعداد غير الحقيقية التي تظهر في هذا الجدول، يجب أخذ القيمة الأساسية، وهذا يعني أن الجذر التكعيبي يحتوي على أكبر جزء حقيقي؛ هذا الجزء الأكبر الحقيقي هو دائما موجب. لذلك، فإن مجموع الجذور التكعيبية التي تظهر في الجدول كلها أعداد حقيقية موجبة.

 

ملاحظات

عدل

استخدامات الثوابت

عدل

كمثال على استخدام هذه الثوابت، نعتبر حجم إثنا عشري السطوح المنتظم [الإنجليزية]، حيث a هو طول إحدى أحرفه:

 

باستخدام:  

 

يمكن تبسيط هذا إلى:

 

اشتقاق القيم من المثلثات

عدل
 
مضلع منتظم (ذو n ضلعًا) ومثلثه القائم الأساسي. الزوايا: a = 180°/n و b =90(1 − 2/n

يعتمد اشتقاق القيم الدقيقة للجيب وجيب التمام والظل على إنشاء المثلثات القائمة.

هنا تستخدم المثلثات القائمة التي أنشئت من قِطَع التناظر للمضلعات العادية لحساب النسب المثلثية الأساسية.  يمثل كل مثلث قائم ثلاث نقاط في مضلع عادي: الرأس، مركز الحافة الحاوية لهذا الرأس، ومركز المضلع. يمكن تقسيم مضلع ذو n ضلعًا إلى 2n مثلثات قائمة ذات زوايا 180/n، و 90 − 180/n، و 90° ، من أجل n = 3 , 4 , 5 , ....

قابلية إنشاء المضلعات ذات 3 و 4 و 5 و 15 ضلعًا هي الأساس، كما تسمح منصفات الزوايا باشتقاق مضاعفات تلك أعداد الأضلاع في اثنين أيضًا.

هناك أيضًا مضلعات منتظمة أخرى قابلة للإنشاء: 17, 51, 85, 255, 257, 353, 449, 641, 1409, 2547, ..., 65535, 65537, 69481, 73697, ..., 4294967295.)
  • غير القابلة للإنشاء – التعبيرات الجذرية اللانهائية التي تتضمن أعدادًا حقيقية لتلك نسب أضلاع المثلث ممكنة، وبالتالي فإن مضاعفاتها في اثنين غير ممكنة أيضًا.
    • ذو 9 × 2n ضلعًا
      • مثلث ذو زوايا 70°-20°-90° : تساعي الأضلاع
      • مثلث ذو زوايا 80°-10°-90° : ثمانية عشري الأضلاع
      • مثلث ذو زوايا 85°-5°-90° : ستة وثلاثوني الأضلاع
      • مثلث ذو زوايا 87.5°-2.5°-90° : إثنا وسبعوني الأضلاع
      • ...
    • ذو 45 × 2n ضلعًا
      • مثلث ذو زوايا 86°-4°-90° : خمسة وأربعوني الأضلاع
      • مثلث ذو زوايا 88°-2°-90° : تسعوني الأضلاع [الإنجليزية]
      • مثلث ذو زوايا 89°-1°-90° : ذو 180 ضلعًا
      • مثلث ذو زوايا 89.5°-0.5°-90° : ذو 360 ضلعًا
      • ...

انظر أيضا

عدل

المراجع

عدل
  1. ^ ا ب Bradie، Brian (سبتمبر 2002). "Exact values for the sine and cosine of multiples of 18°: A geometric approach". The College Mathematics Journal. ج. 33 ع. 4: 318–319. DOI:10.2307/1559057. JSTOR:1559057.

روابط خارجية

عدل