التعبيرات الجبرية الدقيقة للقيم المثلثية جذرية تسمح بمزيد من التبسيط.
تكون زوايا الحلول الأولية على شكل (cos , sin) في دائرة الوحدة هي مضاعفات 30 و 45 درجة. جميع الأعداد المثلثية - الجيب أو جيب التمام من مضاعفات كسرية لـ 360° - هي أعداد جبرية (حلول المعادلات متعددة الحدود مع معاملات صحيحة )؛ زيادة على ذلك، يمكن التعبير عنها بدلالة جذور الأعداد المركبة ؛ ولكن ليس كل هذه يمكن التعبير عنها بدلالة جذور حقيقية . عندما تكون كذلك، فهي قابلة للتعبير بشكل أكثر تحديدًا بدلالة الجذور التربيعية .
جميع قيم الجيب، وجيب التمام، وظلال الزوايا متزايدة بـ 3° يمكن تعبير عنها بدلالة الجذور التربيعية، باستخدام المتطابقات (متطابقة نصف الزاوية ، ومتطابقة ضعف الزاوية ، ومتطابقة إضافة/طرح الزاوية ) وباستخدام القيم لـ 0° و 30° و 36° و 45° . بالنسبة لزاوية عدد صحيح بالدرجات التي ليست مضاعفة لـ 3° (π / 60 راديان )، لا يمكن التعبير عن قيم الجيب وجيب التمام والمماس بدلالة الجذور الحقيقية.
وفقًا لمبرهنة نيفن ، فإن القيم الكسرية الوحيدة لدالة الجيب التي من أجلها تكون عمدتها (argument) عبارة عن عدد كسري من الدرجات هي: 0، و 1 / 2 -1 / 2 و -1 .
وفقًا لمبرهنة باكر ، إذا كانت قيمة الجيب أو جيب التمام أو الظل جبرية، فإن الزاوية تكون إما عددًا نسبيًّا من الدرجات أو عددًا متساميًا من الدرجات. وبعبارة أخرى، إذا كانت الزاوية عبارة عن عدد جبري من الدرجات، ولكنها غير كسرية، فإن جميع الدوال المثلثية لها قيم متسامية.
عدل
عدة وحدات القياس زاوية تستخدم على نطاق واسع، بما في ذلك الدرجات ، الراديات ، والغراد :
1 دائرة كاملة (دورة ) = 360 درجات = 2π راديان = 400 غراد.
يعرض الجدول التالي التحويلات والقيم لبعض الزوايا الشائعة:
دورات
درجات
راديان
غراد
جيب
جيب التمام
ظل
0
0°
0
0g
0
1
0
1 / 12 30°
π / 6 33 1 / 3 g
1 / 2
1 / 8 45°
π / 4 50g
√2 / 2
√2 / 2
1
1 / 6 60°
π / 3 66 2 / 3 g
√3 / 2
1 / 2
√3
1 / 4 90°
π / 2 100g
1
0
1 / 3 120°
2π / 3 133 1 / 3 g
√3 / 2
−1 / 2
−√3
3 / 8 135°
3π / 4 150g
√2 / 2
−√2 / 2
−1
5 / 12 150°
5π / 6 166 2 / 3 g
1 / 2
−√3 / 2
−√3 / 3
1 / 2 180°
π
200g
0
−1
0
7 / 12 210°
7π / 6 233 1 / 3 g
−1 / 2
−√3 / 2
√3 / 3
5 / 8 225°
5π / 4 250g
−√2 / 2
−√2 / 2
1
2 / 3 240°
4π / 3 266 2 / 3 g
−√3 / 2
−1 / 2
√3
3 / 4 270°
3π / 2 300g
−1
0
5 / 6 300°
5π / 3 333 1 / 3 g
−√3 / 2
1 / 2
7 / 8 315°
7π / 4 350g
−√2 / 2
√2 / 2
−1
11 / 12 330°
11π / 6 366 2 / 3 g
−1 / 2
√3 / 2
−√3 / 3
1
360°
2π
400g
0
1
0
الجدول المثلثية الدقيقة لمضاعفات 3 درجات.
sin
0
=
0
{\displaystyle \sin 0=0\,}
cos
0
=
1
{\displaystyle \cos 0=1\,}
tan
0
=
0
{\displaystyle \tan 0=0\,}
cot
0
=
{\displaystyle \cot 0=}
1.5 ° : مئة وعشروني الأضلاع المنتظم (المضلع به 120 ضلع)
عدل
sin
(
π
120
)
=
sin
(
1.5
∘
)
=
(
2
+
2
)
(
15
+
3
−
10
−
2
5
)
−
(
2
−
2
)
(
30
−
6
5
+
5
+
1
)
16
{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{120}}\right)=\sin \left(1.5^{\circ }\right)={\frac {\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)-\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)}{16}}}
cos
(
π
120
)
=
cos
(
1.5
∘
)
=
(
2
+
2
)
(
30
−
6
5
+
5
+
1
)
+
(
2
−
2
)
(
15
+
3
−
10
−
2
5
)
16
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{120}}\right)=\cos \left(1.5^{\circ }\right)={\frac {\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)+\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}{16}}}
1.875 ° : ست وتسعوني الاضلاع (مضلع ذو 96 ضلعًا)
عدل
sin
(
π
96
)
=
sin
(
1.875
∘
)
=
1
2
2
−
2
+
2
+
2
+
3
{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\sin \left(1.875^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}}}
cos
(
π
96
)
=
cos
(
1.875
∘
)
=
1
2
2
+
2
+
2
+
2
+
3
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\cos \left(1.875^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}}}
2.25 ° : المثمن المنتظم (مضلع به 80 ضلع)
عدل
sin
(
π
80
)
=
sin
(
2.25
∘
)
=
1
2
2
−
2
+
2
+
5
+
5
2
{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{80}}\right)=\sin \left(2.25^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}}}}
cos
(
π
80
)
=
cos
(
2.25
∘
)
=
1
2
2
+
2
+
2
+
5
+
5
2
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{80}}\right)=\cos \left(2.25^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}}}}
2.8125 ° : أربع وستيني الأضلاع المنتظم (مضلع ذو جانبين)
عدل
sin
(
π
64
)
=
sin
(
2.8125
∘
)
=
1
2
2
−
2
+
2
+
2
+
2
{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{64}}\right)=\sin \left(2.8125^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}}}
cos
(
π
64
)
=
cos
(
2.8125
∘
)
=
1
2
2
+
2
+
2
+
2
+
2
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{64}}\right)=\cos \left(2.8125^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}}}
3 ° : ستيني الأضلاع المنتظم (مضلع به 60 ضلع)
عدل
sin
(
π
60
)
=
sin
(
3
∘
)
=
2
(
1
−
3
)
5
+
5
+
(
10
−
2
)
(
3
+
1
)
16
{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\sin \left(3^{\circ }\right)={\frac {2\left(1-{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}+1\right)}{16}}\,}
cos
(
π
60
)
=
cos
(
3
∘
)
=
2
(
1
+
3
)
5
+
5
+
(
10
−
2
)
(
3
−
1
)
16
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\cos \left(3^{\circ }\right)={\frac {2\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}-1\right)}{16}}\,}
tan
(
π
60
)
=
tan
(
3
∘
)
=
[
(
2
−
3
)
(
3
+
5
)
−
2
]
[
2
−
10
−
2
5
]
4
{\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\tan \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left[\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right]}{4}}\,}
cot
(
π
60
)
=
cot
(
3
∘
)
=
[
(
2
+
3
)
(
3
+
5
)
−
2
]
[
2
+
10
−
2
5
]
4
{\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\cot \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left[\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right]}{4}}\,}
3.75 ° : ثماني وأربعيني الأضلاع المنتظم (مضلع ذو 48 ضلعًا)
عدل
sin
(
π
48
)
=
sin
(
3.75
∘
)
=
1
2
2
−
2
+
2
+
3
{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{48}}\right)=\sin \left(3.75^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}
cos
(
π
48
)
=
cos
(
3.75
∘
)
=
1
2
2
+
2
+
2
+
3
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{48}}\right)=\cos \left(3.75^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}
4.5 ° : أربعيني الأضلاع المنتظم (مضلع ذو 40 ضلعًا)
عدل
sin
(
π
40
)
=
sin
(
4.5
∘
)
=
1
2
2
−
2
+
5
+
5
2
{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{40}}\right)=\sin \left(4.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}}
cos
(
π
40
)
=
cos
(
4.5
∘
)
=
1
2
2
+
2
+
5
+
5
2
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{40}}\right)=\cos \left(4.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}}
5.625 ° : إثنا وثلاثيني الأضلاع (مضلع ذو 32 ضلعًا)
عدل
sin
(
π
32
)
=
sin
(
5.625
∘
)
=
1
2
2
−
2
+
2
+
2
{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{32}}\right)=\sin \left(5.625^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}
cos
(
π
32
)
=
cos
(
5.625
∘
)
=
1
2
2
+
2
+
2
+
2
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{32}}\right)=\cos \left(5.625^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}
6 ° : ثلاثيني الأضلاع المنتظم (مضلع ذو 30 ضلعًا)
عدل
sin
π
30
=
sin
6
∘
=
30
−
180
−
5
−
1
8
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{30}}=\sin 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {30-{\sqrt {180}}}}-{\sqrt {5}}-1}{8}}\,}
cos
π
30
=
cos
6
∘
=
10
−
20
+
3
+
15
8
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{30}}=\cos 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{8}}\,}
tan
π
30
=
tan
6
∘
=
10
−
20
+
3
−
15
2
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{30}}=\tan 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}}{2}}\,}
cot
π
30
=
cot
6
∘
=
27
+
15
+
50
+
2420
2
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{30}}=\cot 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {27}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {50+{\sqrt {2420}}}}}{2}}\,}
7.5 ° : أربع وعشريني الأضلاع المنتظم (مضلع ذو 24 ضلعًا)
عدل
sin
(
π
24
)
=
sin
(
7.5
∘
)
=
1
2
2
−
2
+
3
=
1
4
8
−
2
6
−
2
2
{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\sin \left(7.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8-2{\sqrt {6}}-2{\sqrt {2}}}}}
cos
(
π
24
)
=
cos
(
7.5
∘
)
=
1
2
2
+
2
+
3
=
1
4
8
+
2
6
+
2
2
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\cos \left(7.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8+2{\sqrt {6}}+2{\sqrt {2}}}}}
tan
(
π
24
)
=
tan
(
7.5
∘
)
=
6
−
3
+
2
−
2
=
(
2
−
1
)
(
3
−
2
)
{\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\tan \left(7.5^{\circ }\right)={\sqrt {6}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}-2\ =\left({\sqrt {2}}-1\right)\left({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}\right)}
cot
(
π
24
)
=
cot
(
7.5
∘
)
=
6
+
3
+
2
+
2
=
(
2
+
1
)
(
3
+
2
)
{\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\cot \left(7.5^{\circ }\right)={\sqrt {6}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}+2\ =\left({\sqrt {2}}+1\right)\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}\right)}
9 ° : عشروني الأضلاع المنتظم (مضلع ذو 20 ضلعًا)
عدل
sin
π
20
=
sin
9
∘
=
1
2
2
−
5
+
5
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}
cos
π
20
=
cos
9
∘
=
1
2
2
+
5
+
5
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}
tan
π
20
=
tan
9
∘
=
5
+
1
−
5
+
2
5
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{20}}=\tan 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,}
cot
π
20
=
cot
9
∘
=
5
+
1
+
5
+
2
5
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{20}}=\cot 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,}
11.25 ° : ستة عشري الأضلاع المنتظم
عدل
sin
π
16
=
sin
11.25
∘
=
1
2
2
−
2
+
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{16}}=\sin 11.25^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}
cos
π
16
=
cos
11.25
∘
=
1
2
2
+
2
+
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{16}}=\cos 11.25^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}
tan
π
16
=
tan
11.25
∘
=
4
+
2
2
−
2
−
1
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{16}}=\tan 11.25^{\circ }={\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}-{\sqrt {2}}-1}
cot
π
16
=
cot
11.25
∘
=
4
+
2
2
+
2
+
1
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{16}}=\cot 11.25^{\circ }={\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}+{\sqrt {2}}+1}
12 ° : خمسة عشري الأضلاع المنتظم
عدل
sin
π
15
=
sin
12
∘
=
1
8
[
2
(
5
+
5
)
+
3
−
15
]
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15}}=\sin 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right]\,}
cos
π
15
=
cos
12
∘
=
1
8
[
6
(
5
+
5
)
+
5
−
1
]
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15}}=\cos 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {6\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}-1\right]\,}
tan
π
15
=
tan
12
∘
=
1
2
[
3
3
−
15
−
2
(
25
−
11
5
)
]
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{15}}=\tan 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}-{\sqrt {2\left(25-11{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}
cot
π
15
=
cot
12
∘
=
1
2
[
15
+
3
+
2
(
5
+
5
)
]
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{15}}=\cot 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}
15 ° : إثنا عشري الأضلاع المنتظم
عدل
sin
π
12
=
sin
15
∘
=
1
4
(
6
−
2
)
=
1
2
2
−
3
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{12}}=\sin 15^{\circ }={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}}
cos
π
12
=
cos
15
∘
=
1
4
(
6
+
2
)
=
1
2
2
+
3
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{12}}=\cos 15^{\circ }={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}
tan
π
12
=
tan
15
∘
=
2
−
3
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{12}}=\tan 15^{\circ }=2-{\sqrt {3}}\,}
cot
π
12
=
cot
15
∘
=
2
+
3
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{12}}=\cot 15^{\circ }=2+{\sqrt {3}}\,}
18 ° : عشري الأضلاع منتظم [ 1]
عدل
sin
π
10
=
sin
18
∘
=
1
4
(
5
−
1
)
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\,}
cos
π
10
=
cos
18
∘
=
1
4
2
(
5
+
5
)
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,}
tan
π
10
=
tan
18
∘
=
1
5
5
(
5
−
2
5
)
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{10}}=\tan 18^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\,}
cot
π
10
=
cot
18
∘
=
5
+
2
5
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{10}}=\cot 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,}
21 ° : مجموع 9 درجة + 12 درجة
عدل
sin
7
π
60
=
sin
21
∘
=
1
16
(
2
(
3
+
1
)
5
−
5
−
(
6
−
2
)
(
1
+
5
)
)
{\displaystyle \sin {\frac {7\pi }{60}}=\sin 21^{\circ }={\frac {1}{16}}\left(2\left({\sqrt {3}}+1\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}-\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)\left(1+{\sqrt {5}}\right)\right)\,}
cos
7
π
60
=
cos
21
∘
=
1
16
(
2
(
3
−
1
)
5
−
5
+
(
6
+
2
)
(
1
+
5
)
)
{\displaystyle \cos {\frac {7\pi }{60}}=\cos 21^{\circ }={\frac {1}{16}}\left(2\left({\sqrt {3}}-1\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)\left(1+{\sqrt {5}}\right)\right)\,}
tan
7
π
60
=
tan
21
∘
=
1
4
(
2
−
(
2
+
3
)
(
3
−
5
)
)
(
2
−
2
(
5
+
5
)
)
{\displaystyle \tan {\frac {7\pi }{60}}=\tan 21^{\circ }={\frac {1}{4}}\left(2-\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)\right)\left(2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\right)\,}
cot
7
π
60
=
cot
21
∘
=
1
4
(
2
−
(
2
−
3
)
(
3
−
5
)
)
(
2
+
2
(
5
+
5
)
)
{\displaystyle \cot {\frac {7\pi }{60}}=\cot 21^{\circ }={\frac {1}{4}}\left(2-\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)\right)\left(2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\right)\,}
22.5 ° : المثمن المنتظم
عدل
sin
π
8
=
sin
22.5
∘
=
1
2
2
−
2
,
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{8}}=\sin 22.5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}},}
cos
π
8
=
cos
22.5
∘
=
1
2
2
+
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{8}}=\cos 22.5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\,}
tan
π
8
=
tan
22.5
∘
=
2
−
1
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{8}}=\tan 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1\,}
cot
π
8
=
cot
22.5
∘
=
2
+
1
=
δ
S
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{8}}=\cot 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}+1=\delta _{S}\,}
حيث δ S هو العدد الفضي .
24 ° : مجموع 12 درجة + 12 درجة
عدل
sin
2
π
15
=
sin
24
∘
=
1
8
[
15
+
3
−
2
(
5
−
5
)
]
{\displaystyle \sin {\frac {2\pi }{15}}=\sin 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right]\,}
cos
2
π
15
=
cos
24
∘
=
1
8
(
6
(
5
−
5
)
+
5
+
1
)
{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{15}}=\cos 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left({\sqrt {6\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}+1\right)\,}
tan
2
π
15
=
tan
24
∘
=
1
2
[
50
+
22
5
−
3
3
−
15
]
{\displaystyle \tan {\frac {2\pi }{15}}=\tan 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right]\,}
cot
2
π
15
=
cot
24
∘
=
1
2
[
15
−
3
+
2
(
5
−
5
)
]
{\displaystyle \cot {\frac {2\pi }{15}}=\cot 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right]\,}
27 ° : مجموع 12 درجة + 15 درجة
عدل
sin
3
π
20
=
sin
27
∘
=
1
8
[
2
5
+
5
−
2
(
5
−
1
)
]
{\displaystyle \sin {\frac {3\pi }{20}}=\sin 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,}
cos
3
π
20
=
cos
27
∘
=
1
8
[
2
5
+
5
+
2
(
5
−
1
)
]
{\displaystyle \cos {\frac {3\pi }{20}}=\cos 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,}
tan
3
π
20
=
tan
27
∘
=
5
−
1
−
5
−
2
5
{\displaystyle \tan {\frac {3\pi }{20}}=\tan 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,}
cot
3
π
20
=
cot
27
∘
=
5
−
1
+
5
−
2
5
{\displaystyle \cot {\frac {3\pi }{20}}=\cot 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,}
sin
π
6
=
sin
30
∘
=
1
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {1}{2}}\,}
cos
π
6
=
cos
30
∘
=
3
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{6}}=\cos 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,}
tan
π
6
=
tan
30
∘
=
3
3
=
1
3
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{6}}=\tan 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,}
cot
π
6
=
cot
30
∘
=
3
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{6}}=\cot 30^{\circ }={\sqrt {3}}\,}
33 ° : مجموع 15 درجة + 18 درجة
عدل
sin
11
π
60
=
sin
33
∘
=
1
16
[
2
(
3
−
1
)
5
+
5
+
2
(
1
+
3
)
(
5
−
1
)
]
{\displaystyle \sin {\frac {11\pi }{60}}=\sin 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3}}-1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left(1+{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,}
cos
11
π
60
=
cos
33
∘
=
1
16
[
2
(
3
+
1
)
5
+
5
+
2
(
1
−
3
)
(
5
−
1
)
]
{\displaystyle \cos {\frac {11\pi }{60}}=\cos 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3}}+1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left(1-{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,}
tan
11
π
60
=
tan
33
∘
=
1
4
[
2
−
(
2
−
3
)
(
3
+
5
)
]
[
2
+
2
(
5
−
5
)
]
{\displaystyle \tan {\frac {11\pi }{60}}=\tan 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}
cot
11
π
60
=
cot
33
∘
=
1
4
[
2
−
(
2
+
3
)
(
3
+
5
)
]
[
2
−
2
(
5
−
5
)
]
{\displaystyle \cot {\frac {11\pi }{60}}=\cot 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}
36 ° : الخماسي المنتظم
عدل
[ 1]
sin
π
5
=
sin
36
∘
=
1
4
10
−
2
5
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }={\frac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}
cos
π
5
=
cos
36
∘
=
5
+
1
4
=
φ
2
,
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}={\frac {\varphi }{2}},}
حيث φ النسبة الذهبية ؛
tan
π
5
=
tan
36
∘
=
5
−
2
5
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,}
cot
π
5
=
cot
36
∘
=
1
5
25
+
10
5
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{5}}=\cot 36^{\circ }={\frac {1}{5}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}
39 ° : مجموع 18 درجة + 21 درجة
عدل
sin
13
π
60
=
sin
39
∘
=
1
16
[
2
(
1
−
3
)
5
−
5
+
2
(
3
+
1
)
(
5
+
1
)
]
{\displaystyle \sin {\frac {13\pi }{60}}=\sin 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1-{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}+1\right)\left({\sqrt {5}}+1\right)\right]\,}
cos
13
π
60
=
cos
39
∘
=
1
16
[
2
(
1
+
3
)
5
−
5
+
2
(
3
−
1
)
(
5
+
1
)
]
{\displaystyle \cos {\frac {13\pi }{60}}=\cos 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}-1\right)\left({\sqrt {5}}+1\right)\right]\,}
tan
13
π
60
=
tan
39
∘
=
1
4
[
(
2
−
3
)
(
3
−
5
)
−
2
]
[
2
−
2
(
5
+
5
)
]
{\displaystyle \tan {\frac {13\pi }{60}}=\tan 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}
cot
13
π
60
=
cot
39
∘
=
1
4
[
(
2
+
3
)
(
3
−
5
)
−
2
]
[
2
+
2
(
5
+
5
)
]
{\displaystyle \cot {\frac {13\pi }{60}}=\cot 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}
42 ° : مجموع 21 درجة + 21 درجة
عدل
sin
7
π
30
=
sin
42
∘
=
30
+
180
−
5
+
1
8
{\displaystyle \sin {\frac {7\pi }{30}}=\sin 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {30+{\sqrt {180}}}}-{\sqrt {5}}+1}{8}}\,}
cos
7
π
30
=
cos
42
∘
=
15
−
3
+
10
+
20
8
{\displaystyle \cos {\frac {7\pi }{30}}=\cos 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {10+{\sqrt {20}}}}}{8}}\,}
tan
7
π
30
=
tan
42
∘
=
15
+
3
−
10
+
20
2
{\displaystyle \tan {\frac {7\pi }{30}}=\tan 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10+{\sqrt {20}}}}}{2}}\,}
cot
7
π
30
=
cot
42
∘
=
50
−
2420
+
27
−
15
2
{\displaystyle \cot {\frac {7\pi }{30}}=\cot 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {50-{\sqrt {2420}}}}+{\sqrt {27}}-{\sqrt {15}}}{2}}\,}
sin
π
4
=
sin
45
∘
=
2
2
=
1
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,}
cos
π
4
=
cos
45
∘
=
2
2
=
1
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{4}}=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,}
tan
π
4
=
tan
45
∘
=
1
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{4}}=\tan 45^{\circ }=1\,}
cot
π
4
=
cot
45
∘
=
1
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{4}}=\cot 45^{\circ }=1\,}
54 ° : مجموع 27 درجة + 27 درجة
عدل
sin
3
π
10
=
sin
54
∘
=
5
+
1
4
{\displaystyle \sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}\,\!}
cos
3
π
10
=
cos
54
∘
=
10
−
2
5
4
{\displaystyle \cos {\frac {3\pi }{10}}=\cos 54^{\circ }={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}}
tan
3
π
10
=
tan
54
∘
=
25
+
10
5
5
{\displaystyle \tan {\frac {3\pi }{10}}=\tan 54^{\circ }={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}\,}
cot
3
π
10
=
cot
54
∘
=
5
−
20
{\displaystyle \cot {\frac {3\pi }{10}}=\cot 54^{\circ }={\sqrt {5-{\sqrt {20}}}}\,}
60 ° : مثلث متساوي الأضلاع
عدل
sin
π
3
=
sin
60
∘
=
3
2
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,}
cos
π
3
=
cos
60
∘
=
1
2
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3}}=\cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}}\,}
tan
π
3
=
tan
60
∘
=
3
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{3}}=\tan 60^{\circ }={\sqrt {3}}\,}
cot
π
3
=
cot
60
∘
=
3
3
=
1
3
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{3}}=\cot 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,}
67.5 ° : مجموع 7.5 درجة + 60 درجة
عدل
sin
3
π
8
=
sin
67.5
∘
=
1
2
2
+
2
{\displaystyle \sin {\frac {3\pi }{8}}=\sin 67.5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\,}
cos
3
π
8
=
cos
67.5
∘
=
1
2
2
−
2
{\displaystyle \cos {\frac {3\pi }{8}}=\cos 67.5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\,}
tan
3
π
8
=
tan
67.5
∘
=
2
+
1
{\displaystyle \tan {\frac {3\pi }{8}}=\tan 67.5^{\circ }={\sqrt {2}}+1\,}
cot
3
π
8
=
cot
67.5
∘
=
2
−
1
{\displaystyle \cot {\frac {3\pi }{8}}=\cot 67.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1\,}
72 ° : مجموع 36 درجة + 36 درجة
عدل
sin
2
π
5
=
sin
72
∘
=
1
4
2
(
5
+
5
)
{\displaystyle \sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,}
cos
2
π
5
=
cos
72
∘
=
1
4
(
5
−
1
)
{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{5}}=\cos 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\,}
tan
2
π
5
=
tan
72
∘
=
5
+
2
5
{\displaystyle \tan {\frac {2\pi }{5}}=\tan 72^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,}
cot
2
π
5
=
cot
72
∘
=
1
5
5
(
5
−
2
5
)
{\displaystyle \cot {\frac {2\pi }{5}}=\cot 72^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\,}
75 ° : مجموع 30 درجة + 45 درجة
عدل
sin
5
π
12
=
sin
75
∘
=
1
4
(
6
+
2
)
{\displaystyle \sin {\frac {5\pi }{12}}=\sin 75^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)\,}
cos
5
π
12
=
cos
75
∘
=
1
4
(
6
−
2
)
{\displaystyle \cos {\frac {5\pi }{12}}=\cos 75^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)\,}
tan
5
π
12
=
tan
75
∘
=
2
+
3
{\displaystyle \tan {\frac {5\pi }{12}}=\tan 75^{\circ }=2+{\sqrt {3}}\,}
cot
5
π
12
=
cot
75
∘
=
2
−
3
{\displaystyle \cot {\frac {5\pi }{12}}=\cot 75^{\circ }=2-{\sqrt {3}}\,}
sin
π
2
=
sin
90
∘
=
1
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2}}=\sin 90^{\circ }=1\,}
cos
π
2
=
cos
90
∘
=
0
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2}}=\cos 90^{\circ }=0\,}
tan
π
2
=
tan
90
∘
=
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{2}}=\tan 90^{\circ }=}
cot
π
2
=
cot
90
∘
=
0
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{2}}=\cot 90^{\circ }=0\,}
2π / n
عدل
بالنسبة إلى الجذور التكعيبية للأعداد غير الحقيقية التي تظهر في هذا الجدول، يجب أخذ القيمة الأساسية، وهذا يعني أن الجذر التكعيبي يحتوي على أكبر جزء حقيقي؛ هذا الجزء الأكبر الحقيقي هو دائما موجب. لذلك، فإن مجموع الجذور التكعيبية التي تظهر في الجدول كلها أعداد حقيقية موجبة.
n
sin
(
2
π
n
)
cos
(
2
π
n
)
tan
(
2
π
n
)
1
0
1
0
2
0
−
1
0
3
1
2
3
−
1
2
−
3
4
1
0
±
∞
5
1
4
(
10
+
2
5
)
1
4
(
5
−
1
)
5
+
2
5
6
1
2
3
1
2
3
7
1
2
1
3
(
7
−
7
+
21
−
3
2
3
−
7
−
21
−
3
2
3
)
1
6
(
−
1
+
7
+
21
−
3
2
3
+
7
−
21
−
3
2
3
)
8
1
2
2
1
2
2
1
9
i
2
(
−
1
−
−
3
2
3
−
−
1
+
−
3
2
3
)
1
2
(
−
1
+
−
3
2
3
+
−
1
−
−
3
2
3
)
10
1
4
(
10
−
2
5
)
1
4
(
5
+
1
)
5
−
2
5
11
12
1
2
1
2
3
1
3
3
13
14
1
24
3
(
112
−
14336
+
−
5549064193
3
−
14336
−
−
5549064193
3
)
1
24
3
(
80
+
14336
+
−
5549064193
3
+
14336
−
−
5549064193
3
)
112
−
14336
+
−
5549064193
3
−
14336
−
−
5549064193
3
80
+
14336
+
−
5549064193
3
+
14336
−
−
5549064193
3
15
1
8
(
15
+
3
−
10
−
2
5
)
1
8
(
1
+
5
+
30
−
6
5
)
1
2
(
−
3
3
−
15
+
50
+
22
5
)
16
1
2
(
2
−
2
)
1
2
(
2
+
2
)
2
−
1
17
1
16
(
−
1
+
17
+
34
−
2
17
+
2
17
+
3
17
−
34
−
2
17
−
2
34
+
2
17
)
18
i
4
(
4
−
4
−
3
3
−
4
+
4
−
3
3
)
1
4
(
4
+
4
−
3
3
+
4
−
4
−
3
3
)
19
20
1
4
(
5
−
1
)
1
4
(
10
+
2
5
)
1
5
(
25
−
10
5
)
21
22
23
24
1
4
(
6
−
2
)
1
4
(
6
+
2
)
2
−
3
{\displaystyle {\begin{array}{r|l|l|l}n&\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)&\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)&\tan \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\\\hline 1&0&1&0\\\hline 2&0&-1&0\\\hline 3&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&-{\frac {1}{2}}&-{\sqrt {3}}\\\hline 4&1&0&\pm \infty \\\hline 5&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)&{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\\\hline 6&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{2}}&{\sqrt {3}}\\\hline 7&{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{3}}\left(7-{\sqrt[{3}]{\frac {7+21{\sqrt {-3}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {7-21{\sqrt {-3}}}{2}}}\right)}}&{\frac {1}{6}}\left(-1+{\sqrt[{3}]{\frac {7+21{\sqrt {-3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21{\sqrt {-3}}}{2}}}\right)&\\\hline 8&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}&1\\\hline 9&{\frac {i}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}}\right)&\\\hline 10&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}+1\right)&{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\\\hline 11&&&\\\hline 12&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\\\hline 13&&&\\\hline 14&{\frac {1}{24}}{\sqrt {3\left(112-{\sqrt[{3}]{14336+{\sqrt {-5549064193}}}}-{\sqrt[{3}]{14336-{\sqrt {-5549064193}}}}\right)}}&{\frac {1}{24}}{\sqrt {3\left(80+{\sqrt[{3}]{14336+{\sqrt {-5549064193}}}}+{\sqrt[{3}]{14336-{\sqrt {-5549064193}}}}\right)}}&{\sqrt {\frac {112-{\sqrt[{3}]{14336+{\sqrt {-5549064193}}}}-{\sqrt[{3}]{14336-{\sqrt {-5549064193}}}}}{80+{\sqrt[{3}]{14336+{\sqrt {-5549064193}}}}+{\sqrt[{3}]{14336-{\sqrt {-5549064193}}}}}}}\\\hline 15&{\frac {1}{8}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{8}}\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left(-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}+{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}\right)\\\hline 16&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)&{\sqrt {2}}-1\\\hline 17&&{\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}\right)&\\\hline 18&{\frac {i}{4}}\left({\sqrt[{3}]{4-4{\sqrt {-3}}}}-{\sqrt[{3}]{4+4{\sqrt {-3}}}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt[{3}]{4+4{\sqrt {-3}}}}+{\sqrt[{3}]{4-4{\sqrt {-3}}}}\right)&\\\hline 19&&&\\\hline 20&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{5}}\left({\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}\right)\\\hline 21&&&\\\hline 22&&&\\\hline 23&&&\\\hline 24&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)&2-{\sqrt {3}}\end{array}}}
كمثال على استخدام هذه الثوابت، نعتبر حجم إثنا عشري السطوح المنتظم [الإنجليزية] a هو طول إحدى أحرفه :
V
=
5
a
3
cos
36
∘
tan
2
36
∘
{\displaystyle V={\frac {5a^{3}\cos 36^{\circ }}{\tan ^{2}{36^{\circ }}}}}
باستخدام:
cos
36
∘
=
5
+
1
4
{\displaystyle \cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}
tan
36
∘
=
5
−
2
5
{\displaystyle \tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}
يمكن تبسيط هذا إلى:
V
=
a
3
(
15
+
7
5
)
4
{\displaystyle V={\frac {a^{3}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)}{4}}}
عدل
مضلع منتظم (ذو n ضلعًا) ومثلثه القائم الأساسي. الزوايا: a = 180° / n b =90(1 − 2 / n يعتمد اشتقاق القيم الدقيقة للجيب وجيب التمام والظل على إنشاء المثلثات القائمة.
هنا تستخدم المثلثات القائمة التي أنشئت من قِطَع التناظر للمضلعات العادية لحساب النسب المثلثية الأساسية. يمثل كل مثلث قائم ثلاث نقاط في مضلع عادي: الرأس، مركز الحافة الحاوية لهذا الرأس، ومركز المضلع. يمكن تقسيم مضلع ذو n ضلعًا إلى 2n مثلثات قائمة ذات زوايا 180 / n 90 − 180 / n ، و 90° ، من أجل n = 3 , 4 , 5 , ... .
قابلية إنشاء المضلعات ذات 3 و 4 و 5 و 15 ضلعًا هي الأساس، كما تسمح منصفات الزوايا باشتقاق مضاعفات تلك أعداد الأضلاع في اثنين أيضًا.
القابلة للإنشاء مضلعات منتظمة ذات 3 × 2n n = 0, 1, 2, 3, ...
ذو 4 × 2n
ذو 5 × 2n
ذو 15 × 2n
... هناك أيضًا مضلعات منتظمة أخرى قابلة للإنشاء: 17 , 51, 85, 255, 257, 353, 449, 641, 1409, 2547, ..., 65535, 65537, 69481, 73697, ..., 4294967295.) غير القابلة للإنشاء – التعبيرات الجذرية اللانهائية التي تتضمن أعدادًا حقيقية لتلك نسب أضلاع المثلث ممكنة، وبالتالي فإن مضاعفاتها في اثنين غير ممكنة أيضًا.
ذو 9 × 2n مثلث ذو زوايا 70°-20°-90° : تساعي الأضلاع
مثلث ذو زوايا 80°-10°-90° : ثمانية عشري الأضلاع
مثلث ذو زوايا 85°-5°-90° : ستة وثلاثوني الأضلاع
مثلث ذو زوايا 87.5°-2.5°-90° : إثنا وسبعوني الأضلاع
...
ذو 45 × 2n مثلث ذو زوايا 86°-4°-90° : خمسة وأربعوني الأضلاع
مثلث ذو زوايا 88°-2°-90° : تسعوني الأضلاع [الإنجليزية]
مثلث ذو زوايا 89°-1°-90° : ذو 180 ضلعًا
مثلث ذو زوايا 89.5°-0.5°-90° : ذو 360 ضلعًا
... 
![{\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\tan \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left[\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right]}{4}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3def0c4623027bd006e5772927044dc5f2c82f41)
![{\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\cot \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left[\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right]}{4}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5604f62a7ebebb43eb6e64baa6f88872c7e9d069)
![{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15}}=\sin 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1228d7e22be483539e4ba91a0b4c9bfaf074eebe)
![{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15}}=\cos 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {6\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}-1\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb2ac6239ea26bcfc4e7eefcc375f7f67b6a0acb)
![{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{15}}=\tan 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}-{\sqrt {2\left(25-11{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b57f4f65cc3f783c5b77b860a2297a8a8cbab4)
![{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{15}}=\cot 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe18dfa13f93c50f52d019bc3ea48fa0ca9bf472)
![{\displaystyle \sin {\frac {2\pi }{15}}=\sin 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c08024470722b423345f24249ea960c772fc87ae)
![{\displaystyle \tan {\frac {2\pi }{15}}=\tan 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fa351918ed8323175584ed4751bfacf5f61e67e)
![{\displaystyle \cot {\frac {2\pi }{15}}=\cot 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/679f693d22aa397b2aa744452edc6d64496e09fd)
![{\displaystyle \sin {\frac {3\pi }{20}}=\sin 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/598d2e8e06f65d78a64d4c8450bff3de5e5c5220)
![{\displaystyle \cos {\frac {3\pi }{20}}=\cos 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96ed3130d2995af89ffd7fed92ca75b79e11b580)
![{\displaystyle \sin {\frac {11\pi }{60}}=\sin 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3}}-1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left(1+{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67cd8c6ce776c45fc5b1dfaa972f24628f4d57ab)
![{\displaystyle \cos {\frac {11\pi }{60}}=\cos 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3}}+1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left(1-{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89d8b1c326975404f0f829d7b88fcfd06abfee06)
![{\displaystyle \tan {\frac {11\pi }{60}}=\tan 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdb93b95e09248b579de718f6c6670c64b38a785)
![{\displaystyle \cot {\frac {11\pi }{60}}=\cot 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/637555b8bd052954d2c6cff5ec40071d29d1ffeb)
![{\displaystyle \sin {\frac {13\pi }{60}}=\sin 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1-{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}+1\right)\left({\sqrt {5}}+1\right)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fde6336d3d6afde0136a7171d6f40a9e695c3436)
![{\displaystyle \cos {\frac {13\pi }{60}}=\cos 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}-1\right)\left({\sqrt {5}}+1\right)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d84363bc38d47561a10590df7ae08c6353619596)
![{\displaystyle \tan {\frac {13\pi }{60}}=\tan 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7739885ff94d55132c58be5a2ca59b17eb44037)
![{\displaystyle \cot {\frac {13\pi }{60}}=\cot 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a960ac308ab19d558f2f1c6399a1913bfe1f5ca)
![{\displaystyle {\begin{array}{r|l|l|l}n&\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)&\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)&\tan \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\\\hline 1&0&1&0\\\hline 2&0&-1&0\\\hline 3&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&-{\frac {1}{2}}&-{\sqrt {3}}\\\hline 4&1&0&\pm \infty \\\hline 5&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)&{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\\\hline 6&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{2}}&{\sqrt {3}}\\\hline 7&{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{3}}\left(7-{\sqrt[{3}]{\frac {7+21{\sqrt {-3}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {7-21{\sqrt {-3}}}{2}}}\right)}}&{\frac {1}{6}}\left(-1+{\sqrt[{3}]{\frac {7+21{\sqrt {-3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21{\sqrt {-3}}}{2}}}\right)&\\\hline 8&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}&1\\\hline 9&{\frac {i}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}}\right)&\\\hline 10&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}+1\right)&{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\\\hline 11&&&\\\hline 12&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\\\hline 13&&&\\\hline 14&{\frac {1}{24}}{\sqrt {3\left(112-{\sqrt[{3}]{14336+{\sqrt {-5549064193}}}}-{\sqrt[{3}]{14336-{\sqrt {-5549064193}}}}\right)}}&{\frac {1}{24}}{\sqrt {3\left(80+{\sqrt[{3}]{14336+{\sqrt {-5549064193}}}}+{\sqrt[{3}]{14336-{\sqrt {-5549064193}}}}\right)}}&{\sqrt {\frac {112-{\sqrt[{3}]{14336+{\sqrt {-5549064193}}}}-{\sqrt[{3}]{14336-{\sqrt {-5549064193}}}}}{80+{\sqrt[{3}]{14336+{\sqrt {-5549064193}}}}+{\sqrt[{3}]{14336-{\sqrt {-5549064193}}}}}}}\\\hline 15&{\frac {1}{8}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{8}}\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left(-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}+{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}\right)\\\hline 16&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)&{\sqrt {2}}-1\\\hline 17&&{\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}\right)&\\\hline 18&{\frac {i}{4}}\left({\sqrt[{3}]{4-4{\sqrt {-3}}}}-{\sqrt[{3}]{4+4{\sqrt {-3}}}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt[{3}]{4+4{\sqrt {-3}}}}+{\sqrt[{3}]{4-4{\sqrt {-3}}}}\right)&\\\hline 19&&&\\\hline 20&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{5}}\left({\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}\right)\\\hline 21&&&\\\hline 22&&&\\\hline 23&&&\\\hline 24&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)&2-{\sqrt {3}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d58c300b825038dd0577a860656f0940c89b1a01)
