خماسي أضلاع

في الهندسة الرياضية، خُمَاسِيّ الأَضْلاَعِ^[1] أو المُخَمَّس^[1]^[2] (بالإنجليزية: Pentagon)‏ هو مضلع له خمسة أضلاع.^[3]^[4]^[5] مجموع الزوايا الداخلية لخماسي أضلاع بسيط (أي أضلاعه لا تتقاطع مع بعضها البعض) ومحدب يساوي 540 درجة.

مخمس منتظم
مخمس منتظم
أضلاع ورؤوس	5
رمز شليفلي	{5}
مخطط كوكستير-دينكين
مجموعة التناظر	تناظر ثنائي السطوح (D₅)
زاوية داخلية (درجة)	108°
خصائص	محدب، مضلع دائري، منتظم، رأسي، متعدي الحافة

قد يكون خماسي الأضلاع بسيطا وقد يكون ذاتي التقاطع. خماسي ذاتي التقاطع يسمى نجمة خماسية.

الخماسي المنتظم

خطوات إنشاء المخمس باستخدام الفرجار والمسطرة.

A={\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}={\frac {5t^{2}\cdot \tan(54^{\circ })}{4}}\ \approx 1.720477401\,t^{2}.

تعطى مساحة المخمس بدلالة نصف قطر الدائرة المحاطة داخله r بالعلاقة:

$t=R\ {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\ \approx 1.17557050458R$ .

$R={\frac {\sin(54^{\circ })a}{\sin(72^{\circ })}}\ \approx 0.85065a$

المخمس هو مضلع قابل للإنشاء باستخدام إنشاءات الفرجار والمسطرة. ويعود ذلك إلى كون 5 عددا أوليا لفيرما. هناك العديد من الطرق اللائي يمكنن من إنشاء خماسي منتظم. منهن ما يلي.

رسم خماسي باستعمال دوائر كارليل

{\begin{aligned}0&=\cos 90^{\circ }\\&=n^{2}+2n+1\\&=\cos(72^{\circ }+18^{\circ })\\&=\cos 72^{\circ }\cos 18^{\circ }-\sin 72^{\circ }\sin 18^{\circ }\end{aligned}}

\quad =(2\cos ^{2}36^{\circ }-1){\sqrt {\tfrac {1+\cos 36^{\circ }}{2}}}-2\sin 36^{\circ }\cos 36^{\circ }{\sqrt {\tfrac {1-\cos 36^{\circ }}{2}}}

ليكن u = cos 36°. أولا لاحظ أن

$0 < u < 1$ (والتي ستساعدنا في التبسيط أثناء العمل). الآن،

{\begin{aligned}0&{}=(2u^{2}-1){\sqrt {\tfrac {1+u}{2}}}-2{\sqrt {1-u^{2}}}\cdot u{\sqrt {\tfrac {1-u}{2}}}\\2{\sqrt {1-u^{2}}}\cdot u{\sqrt {\tfrac {1-u}{2}}}&{}=(2u^{2}-1){\sqrt {\tfrac {1+u}{2}}}\\2{\sqrt {1+u}}{\sqrt {1-u}}\cdot u{\sqrt {1-u}}&{}=(2u^{2}-1){\sqrt {1+u}}\\2u(1-u)&{}=2u^{2}-1\\2u-2u^{2}&{}=2u^{2}-1\\0&{}=4u^{2}-2u-1\\u&{}={\frac {2+{\sqrt {(-2)^{2}-4(4)(-1)}}}{2(4)}}\\u&{}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\end{aligned}}

قد يعبر عن هذه النتيجة نثرا كما يلي :

الجيب التمام لزاوية تساوي ستة وثلاثين درجة هو نصف النسبة الذهبية.

الشبه بلورة "Ho-Mg-Zn" عشرينية الأوجه تشكلت كاثنا عشري سطوح خماسي الشكل. الوجوه كلها خماسيات منتظمة.
بلورة بيريت، عبارة عن اثنا عشري الوجوه له 12 وجهًا خماسيًا متطابقًا غير مقيد ليكون منتظمًا.