قوس الظل

في الرياضيات، دالة قوس الظل (بالإنجليزية: Arctangent)‏ لعدد حقيقي المعرفة على $\mathbb {R}$ هي الدالة العكسية لدالة الظل، مستقرها هو $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$، وحدتها هي الراديان.

دالة قوس الظل
التمثيل البياني للدالة التمثيل البياني للدالة
تدوين	$\arctan x$
دالة عكسية	$\tan x$ على المجال $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$
مشتق الدالة	${\frac {1}{1+x^{2}}}$
مشتق عكسي (تكامل)	$x\,\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C$
الميزات الأساسية
زوجية أم فردية؟	فردية
مجال الدالة	$\mathbb {R}$
المجال المقابل	$\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر	0
نهاية الدالة عند +∞	${\frac {\pi }{2}}$
نهاية الدالة عند -∞	$-{\frac {\pi }{2}}$
خطوط مقاربة	$y={\frac {\pi }{2}}$ عند $+\infty$ $y=-{\frac {\pi }{2}}$ عند $-\infty$
جذور الدالة	0
نقاط ثابتة	0

الدالة التي ترفق بكل عدد حقيقي، قيمة قوس الظل الخاص به يرمز لها بـ arctan أو tan ^-1. ومن ثم تكون الدالة العكسية لدالة الظل المثلثية المقتصرة إلى المجال $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$ .

في المَعْلم الديكارتي المتعامد والمتجانس (متعامد ممنظم) للمستوي، يتم الحصول على التمثيل البياني لدالة قوس ظل الزاوية انطلاقا من التمثيل البياني لدالة الظل المقتصرة إلى المجال $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$ بانعكاس حول المحور ذو المعادلة y = x.

مشتق

دالة الظل العكسية تقبل الإشتقاق على $\mathbb {R}$ ودالتها المشتقة هي:

$\arctan 'x={\frac {1}{1+x^{2}}}$

إثبات

يمكننا كتابة مشتقة الدالة بهذه الصيغة:$(\arctan x)'={d \over dx}\arctan x$

نضع $\theta =\arctan x$:

${\frac {d\theta }{d\tan \theta }}={\frac {d\theta }{d\theta (1+\tan ^{2}\theta )}}={\frac {1}{1+\tan ^{2}\theta }}={\frac {1}{1+x^{2}}}$

إثبات آخر

يمكن استنتاج مشتقة قوس الظل كالتالي:

1. معلوم أن tan(arctan(x))=x بتفاضل الطرفين:

$(\tan(\arctan(x))'=x'$

نحصل على :

${(\tan(\arctan(x))^{2}+1)}{d \over dx}{\arctan(x)}=1$

بتبسيط tan(arctan(x)) نحصل على:

${(x^{2}+1)}{d \over dx}{\arctan(x)}=1$

و بترتيب التعبير نحصل على مشتقة دالة قوس الظل :

${d \over dx}{\arctan(x)}={\frac {1}{1+x^{2}}}$

تمثيل بواسطة متسلسلة

يمكننا تمثيل الدالة بواسطة متسلسلة تايلور:

$\forall x\in [-1,1]\quad \arctan x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\cdots$.

المشتق العكسي

يتم الحصول على المشتق العكسي لدالة قوس الظل عن طريق التكامل بالتجزئة :

$x\,\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C$

على المستوي العقدي

الشكل اللوغاريتمي

يمكننا التعبير عن دالة قوس الظل باستخدام اللوغاريتم العقدي:

$\forall x\in \mathbb {C} \setminus \left(i\left(]-\infty ,-1]\cup [1,+\infty [\right)\right)\quad \arctan x={\frac {1}{i}}\operatorname {artanh} (ix)={\frac {1}{2i}}\ln \left({\frac {1+ix}{1-ix}}\right)={\frac {\ln(1+ix)-\ln(1-ix)}{2i}}$

حيث $\operatorname {artanh} x$ هي دالة الظل الزائدية العكسية.

تمثيل الدالة العقدية

التمثيل البياني اللوني للدالة $\arctan z$

طالع أيضًا

• دوال مثلثية عكسية
• قوس الجيب
• قوس جيب التمام
• قوس الظل ثنائي العمدة