قوس الظل ثنائي العمدة

تُعرَّف دالة $\operatorname {atan2} (y,x)$ على أنها الزاوية في المستوى الإقليدي، المعطاة بالراديان، بين المحور الموجب $x$ ونصف المستقيم من الأصل إلى النقطة $(x,\,y)$ .

قوس الظل ثنائي العمدة

معلومات عامة

اشتق من	قوس الظل
تعريف الصيغة	$\operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\qquad x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &\qquad y\geq 0,x<0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &\qquad y<0,x<0\\+{\frac {\pi }{2}}&\qquad y>0,x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\qquad y<0,x=0\\{\text{undefined}}&\qquad y=0,x=0\end{cases}}$
مجال الدالة	مستو حقيقي مثقوب
مجموعة الإدخال	مستو حقيقي
المجال المقابل	مجموعة الأعداد الحقيقية

atan2(y, x) تُرجع الزاوية θ بين نصف المستقيم إلى النقطة (x, y) والمحور x الموجب، مقيدًا بـ (−π, π] .

رسم بياني لـ $\operatorname {atan2} (y,x)$ بدلالة $y/x$

ظهرت دالة $\operatorname {atan2} (y,x)$ لأول مرة في لغة البرمجة فورتران (في تنفيذ FORTRAN-IV الخاص بـ IBM) عام 1961. كان من المفترض في الأصل إرجاع قيمة صحيحة لا لبس فيها للزاوية θ في التحويل من الإحداثيات الديكارتية (x, y) إلى الإحداثيات القطبية (r, θ) .

على قدم المساواة، $\operatorname {atan2} (y,x)$ هي عمدة (وتسمى أيضًا الطور أو الزاوية) للعدد المركب $x+iy$ .

تُرجِع $\operatorname {atan2} (y,x)$ قيمة واحدة $\theta$ بحيث $-\pi <\theta \leq \pi$ ومن أجل ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ :

${\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \end{aligned}}$

إذا كانت x > 0، تُعطى الزاوية من خلال:

$\theta =\mathop {\rm {atan2}} (y,x)=\arctan \left({\frac {y}{x}}\right).$

ومع ذلك، عندما x < 0 ، الزاوية المعطاة بواسطة $\arctan({\tfrac {y}{x}})$ النقاط في الاتجاه المقابل للزاوية الصحيحة، ويجب إضافة قيمة $\pm \pi$ (أو$\pm 180^{\circ }$) إلى θ لوضع النقطة في الربع الصحيح من المستوى الإقليدي. يتطلب هذا معرفة إشارتي x و y بشكل منفصل، والتي تُفقد عند قسمة y على x ، ومن هنا تأتي الحاجة إلى قوس ظل متغيرين.

نظرًا لأنه يمكن إضافة أي عدد صحيح مضاعف لـ 2π إلى θ دون تغيير x أو y ، مما يقتضي قيمة مبهمة للقيمة التي تم إرجاعها، القيمة الأساسية للزاوية، في الفترة $-\pi <\theta \leq \pi$ . θ ، بحيث تكون زوايا عكس اتجاه عقارب الساعة موجبة وتكون سالبة في اتجاه عقارب الساعة. بعبارة أخرى، تقع $\operatorname {atan2} (y,x)$ في الفترة المغلقة [0, π] عندما y ≥ 0 ، وفي الفترة المفتوحة (−π, 0) عندما y < 0 .