قوس جيب التمام

في الرياضيات، دالة قوس جيب التمام (بالإنجليزية: Arccosine)‏ لعدد حقيقي المحصور بين –1 و 1 هي الدالة العكسية لدالة جيب التمام، مستقرها هو $[0,\pi ]$، وحدتها هي الراديان.

دالة قوس جيب التمام
التمثيل البياني للدالة التمثيل البياني للدالة
تدوين	$\arccos x$
دالة عكسية	$\cos x$ على المجال $[0,\pi ]$
مشتق الدالة	${\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
مشتق عكسي (تكامل)	$x\,\arccos(x)-{\sqrt {1-x^{2}}}+C$
الميزات الأساسية
مجال الدالة	$[-1,1]$
المجال المقابل	$[0,\pi ]$
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر	${\frac {\pi }{2}}$
الحدود الأعلى	-1
الحدود الأدنى	1
القيمة/النهاية عند 1	0
القيمة/النهاية عند -1	π
جذور الدالة	1
نقاط ثابتة	0.7390851332152...

الدالة التي ترفق بكل عدد حقيقي المحصور بين –1 و 1 قيمة قوس جيب التمام الخاص به يرمز لها بـ arccos أو cos ^-1. ومن ثم تكون الدالة العكسية لدالة جيب التمام المثلثية المقتصرة إلى المجال $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ .

في المَعْلم الديكارتي المتعامد والمتجانس (متعامد ممنظم) للمستوي، يتم الحصول على التمثيل البياني لدالة قوس جيب تمام الزاوية انطلاقا من التمثيل البياني لدالة جيب التمام المقتصرة إلى المجال $[0,\pi ]$ بواسطة انعكاس حول المحور ذو المعادلة y = x.

مشتق

دالة جيب التمام العكسية تقبل الإشتقاق على المجال ]–1, 1[ ودالتها المشتقة هي:

$\arccos 'x={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

إثبات

يمكن كتابة مشتقة الدالة بهذه الصيغة:$(\arccos x)'={d \over dx}\arccos x$

نضع $\theta =\arccos x$:

${\frac {d\theta }{d\cos \theta }}={\frac {d\theta }{-d\theta \sin \theta }}={\frac {-1}{\sin \theta }}={\frac {-1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

إثبات آخر

يمكن إيجاد مشتقة دالة arccos(x) عن طريق تفاضل مركب دالتين (دالة ومعكوسها):

- إذا كانت cos(arccos(x)) = x بتفاضل الطرفين معاً ينتج:

$(\cos(\arccos(x))'={-\sin(\arccos(x))}{d \over dx}\arccos x$

أي أن:

$\ (x)'=-{\sqrt {1-\cos ^{2}(\arccos(x))}}{d \over dx}\arccos x$

يُستنتج من ذلك:

$\ 1=-{\sqrt {1-x^{2}}}{d \over dx}\arccos x$

بترتيبها تنتج المشتقة:

$\ {d \over dx}{\arccos(x)}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

الشكل التكاملي

يمكن كتابة هذه الدالة على شكل التكامل المحدد:

 $\arccos x=\int _{1}^{x}{\frac {-1}{\sqrt {1-t^{2}}}}dt$

المشتق العكسي

يمكن الحصول على المشتق العكسي لدالة قوس الجيب عن طريق التكامل بالتجزئة:

$\int \arccos(x)dx=x\,\arccos(x)-{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

العلاقة بين قوس الجيب وقوس جيب التمام

arccos x (بالأزرق) و arcsin x (بالأحمر)

لكل عدد حقيقي x محصور بين –1 و 1 :

$\arccos x+\arcsin x={\frac {\pi }{2}}$

إثبات

يمكن أن نستنتج العلاقة بين arccos(x) و arcsin(x) كالتالي:

نأخذ:

$\ y=\arccos(x)$

$\cos(y)=x$

يعني:

$\sin {\left({\frac {\pi }{2}}-y\right)}=x$

ومنه:

${\frac {\pi }{2}}-y=\arcsin(x)$

أي:

${\frac {\pi }{2}}-\arccos(x)=\arcsin(x)$

و بترتيبها نحصل على:

$\arccos(x)+\arcsin(x)={\frac {\pi }{2}}$

إثبات آخر

نشتق الدالة $\arccos(x)+\arcsin(x)$:

${\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}+{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ وهي مساوية للصفر ، إذن arccos(x) + arcsin(x) هي عبارة عن دالة ثابتة.

نستنتج من ذلك أن:

مجموع arccos(x) و arcsin(x) عدد حقيقي ثابت (لأن مشتقة الثابت هي الصفر) يتم تعيينه أي أن:

$\arccos(x)+\arcsin(x)=\alpha$

نأخذ arcsin(x) إلى الطرف الآخر:

$\arccos(x)=\alpha -\arcsin(x)$

ندخل دالة الجيب تمام على الطرفين:

$\ x=\cos(\alpha -\arcsin(x))$

نبسط التعبير باستعمال قاعدة جيب تمام فرق عددين:

$\ x=\cos(\alpha )\cos(\arcsin(x))+\sin(\alpha )\sin(\arcsin(x))$

أي أن:

$\ x={\cos(\alpha )}{\sqrt {1-x^{2}}}+{x}{\;\sin(\alpha )}$

و بتعويض x ب 0 و التبسيط نحصل على:

$0=\cos(\alpha )$

بادخال دالة معكوس جيب التمام على الطرفين نحصل على:

$\arccos(0)=\alpha$

أي أن:

${\frac {\pi }{2}}=\alpha$

و بالتالي نحصل على العلاقة بينهما:

$\arccos(x)+\arcsin(x)={\frac {\pi }{2}}$

التمثيل بواسطة متسلسلة

لدينا:

$\arccos(x)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)$

و بتعويض arcsin(x) بمتسلسلتها نحصل على متسلسلة دالة arccos(x) :

$\arccos(x)={\frac {\pi }{2}}-\sum _{k=0}^{\infty }{{\frac {(2k-1)!!}{(2k)!!}}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}}$

على المستوي العقدي

الشكل اللوغاريتمي

التمثيل البياني اللوني للدالة $\arccos z$

يمكن التعبير عن دالة قوس جيب التمام باستخدام اللوغاريتم العقدي:

$\arccos(x)=-i\,\ln \left(x+i\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}\,+i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x).$

طالع أيضًا

• دوال مثلثية عكسية
• دالة الجيب العكسية
• دالة الظل العكسية