درجة قابلية الاشتقاق [ 1] دالة معينة (بالإنجليزية : Differentiability Class ) وتعرف أيضا بنعومة الدالة (بالإنجليزية: Smoothness)، أو رتبة الانتظام في المراجع الفرنسية (Classe de régularité)[ 2] التحليل الرياضي لوصف دوال تقبل اشتقاقات متتالية إلى رتبة معينة وتكون متصلة .[ 3]
مثال لدالة ناعمة رتبتها
C
∞
(
J
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(J,\mathbb {R} )}
بحامل متراص الدالة التي تحقق هذه الخاصية (إلى ما لانهاية من الرتب) تسمى بالدالة الناعمة وفي المراجع الفرنسية بالدالة الملساء أو المنتظمة .
باعتبار مجال
J
⊂
R
{\displaystyle J\subset \mathbb {R} }
عدد صحيح
k
≥
1
{\displaystyle k\geq 1}
فضاءات الدوال التالية:
C
0
(
J
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(J,\mathbb {R} )}
الدوال المتصلة من
J
{\displaystyle J}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
D
k
(
J
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {D}}^{k}(J,\mathbb {R} )}
J
{\displaystyle J}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
للاشتقاق حتى الرتبة
k
{\displaystyle k}
C
k
(
J
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}(J,\mathbb {R} )}
D
k
(
J
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {D}}^{k}(J,\mathbb {R} )}
للاشتقاق حتى الرتبة
k
{\displaystyle k}
C
∞
(
J
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(J,\mathbb {R} )}
D
∞
(
J
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {D}}^{\infty }(J,\mathbb {R} )}
J
{\displaystyle J}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
كل مجموعة من هذه المجموعات جبر على حقل وهي بالتالي فضاءات متجهية على
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
بما أن قابلية الاشتقاق تستلزم الاتصال فإن هذه المجموعات تحقق تراتبية التضمين التالية:
C
0
(
J
)
⊃
D
1
(
J
)
⊃
C
1
(
J
)
⊃
D
2
(
J
)
⊃
C
2
(
J
)
⊃
⋯
⊃
D
k
(
J
)
⊃
C
k
(
J
)
⊃
⋯
⊃
C
∞
(
J
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(J)\supset {\mathcal {D}}^{1}(J)\supset {\mathcal {C}}^{1}(J)\supset {\mathcal {D}}^{2}(J)\supset {\mathcal {C}}^{2}(J)\supset \cdots \supset {\mathcal {D}}^{k}(J)\supset {\mathcal {C}}^{k}(J)\supset \cdots \supset {\mathcal {C}}^{\infty }(J)}
عدل
في حالة الدوال المتعددة التعريف ، تعرف المجموعات التالية:
C
I
0
(
J
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{I}^{0}(J)}
C
I
k
(
J
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{I}^{k}(J)}
D
k
(
J
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {D}}^{k}(J,\mathbb {R} )}
k
{\displaystyle k}
C
0
k
(
J
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{k}(J)}
C
k
(
J
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}(J,\mathbb {R} )}
الحوامل المتراصة ضمن مجموعة مفتوحة في
J
{\displaystyle J}
C
0
∞
(
J
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(J)}
C
∞
(
J
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(J,\mathbb {R} )}
الحوامل المتراصة ضمن مجموعة مفتوحة في
J
{\displaystyle J}
هذه المجموعات تحقق تراتبية التضمين التالية:
D
k
(
J
)
⊃
C
I
k
(
J
)
⊃
C
k
(
J
)
⊃
C
0
k
(
J
)
.
{\displaystyle {\mathcal {D}}^{k}(J)\supset {\mathcal {C}}_{I}^{k}(J)\supset {\mathcal {C}}^{k}(J)\supset {\mathcal {C}}_{0}^{k}(J).}
الدالة مقلوب هي دالة ناعمة لأن لها عدد غير منته من المشتقات .[ 4]
f
(
x
)
=
(
1
x
)
{\displaystyle f(x)=\left({\frac {1}{x}}\right)}
f
′
(
x
)
=
(
−
1
x
2
)
{\displaystyle f'(x)=\left({\frac {-1}{x^{2}}}\right)}
f
″
(
x
)
=
(
2
x
3
)
{\displaystyle f''(x)=\left({\frac {2}{x^{3}}}\right)}
ثم تستمر المشتقات إلى
+
∞
{\displaystyle +\infty }
