دالة المقلوب

  ميّز عن دالة عكسية.

دالة المقلوب (بالإنجليزية: reciprocal function)‏ هي الدّالة التي تحوّل العدد إلى مقلوبه.

دالة المقلوب
التمثيل البياني لدالة المقلوب له شكل قطع زائد قائم. التمثيل البياني لدالة المقلوب له شكل قطع زائد قائم.
تدوين	${\frac {1}{x}}$
دالة عكسية	${\frac {1}{x}}$
مشتق الدالة	${\frac {-1}{x^{2}}}$
مشتق عكسي (تكامل)	$\ln \vert x\vert +C$
الميزات الأساسية
زوجية أم فردية؟	فردية
مجال الدالة	$\mathbb {R} ^{*}$
المجال المقابل	$\mathbb {R} ^{*}$
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر	على اليمين: $+\infty$ على اليسار: $-\infty$
نهاية الدالة عند +∞	0
نهاية الدالة عند -∞	0
خطوط مقاربة	$x=0$ $y=0$
نقاط ثابتة	-1 و 1
ملاحظات	$x\neq 0$

دالة المقلوب هي الدّالة التي يمكن كتابتها عاى هيئة: $f(x)={\frac {a}{x-h}}+k$

تكتب على هذا النحو: $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ ومعامل المقلوب هو العدد الثابت a بحيث : a=1 (أي تبقى قيمة a ثابتة لا تتغير).

أنواعها

- تآلفية دالة المقلوب : وتكتب على هذا النحو : F(x)=1/x+1 ومعاملها هو a=1 ويمكن دراسة تغيرات العدد b ويسمى بالملحق التآلفي .

إثبات مشتق الدالة

برهان

$\forall h\in \mathbb {R} ^{*}\,$

${\dfrac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\dfrac {{\dfrac {1}{a+h}}-{\dfrac {1}{a}}}{h}}$

${\dfrac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\dfrac {\dfrac {a-(a+h)}{a(a+h)}}{h}}$

${\dfrac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\dfrac {a-a-h}{a(a+h)}}\cdot {\dfrac {1}{h}}$

${\dfrac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\dfrac {-1}{a(a+h)}}$

$\therefore \!\,$

$\lim _{h\to 0}{\dfrac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\dfrac {-1}{a^{2}}}$

$f'(a)=-{\dfrac {1}{a^{2}}}$

تكامل

مشتق عكسي لـ $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ هي الدالة اللوغاريتم الطبيعي : $\ln \vert x\vert +C$ حيث C ثابت حقيقي.

انظر أيضا

• لوغاريتم طبيعي