صيغة كوشي التكاملية

في التحليل المركب، تنص صيغة كوشي التكاملية (بالإنجليزية: Cauchy's integral formula)‏ على أنه يمكن تحديد قيمة التابع التحليلي، المعرف على قرص، في أي نقطة داخل القرص بواسطة قيم هذا التابع على محيط هذا القرص، أي.

صيغة كوشي التكاملية

معلومات عامة

سُمِّي باسم	أوغستان لوي كوشي
تعريف الصيغة	$f(z_{0})={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\mathsf {C}}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,\mathrm {d} z$
الرموز في الصيغة	$f$ $\int _{\mathsf {C}}f(z)\,\mathrm {d} z$ ${\mathsf {C}}$ $\pi$ $\mathrm {i}$

  ميّز عن مبرهنة التكامل لكوشي.

  ميّز عن صيغة كوشي للتكامل المتكرر.

المبرهنة

ليكن U مجموعة مفتوحة من المستوى العقدي C وليكن القرص المنغلق D المعرف كما يلي:

$D={\bigl \{}z:|z-z_{0}|\leq r{\bigr \}}$

ضمن المجموعة U بشكل كامل.

$f(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{C}{f(z) \over z-a}\,dz\!$

${\frac {1}{z-a}}={\frac {1+{\frac {a}{z}}+\left({\frac {a}{z}}\right)^{2}+\cdots }{z}}$

ومن هذه الصيغة يمكن استنتاج قابلية هذا التابع للمفاضلة بعدد لا نهائي من المرات

$f^{(n)}(a)={n! \over 2\pi i}\oint _{C}{f(z) \over (z-a)^{n+1}}\,dz.$

مثال

المساحة (أو السطح) الممثلة للجزء الحقيقي للدالة g(z) = z² / (z² + 2z + 2) and its singularities, with the contours الموصوفة في النص.

لتكن الدالة

$g(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}}$,

$g(z)={\frac {z^{2}}{(z-z_{1})(z-z_{2})}}$

النتائج

انظر إلى نعومة دالة.

$f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)}{z-\zeta }}\,dz.$

انظر أيضا

• معادلات كوشي-ريمان