دالة أوميغا الأولية

في نظرية الأعداد، دوال أوميغا الأولية $\omega (n)$ و $\Omega (n)$ (بالإنجليزية: Prime omega functions)‏ تقومان بحساب عدد العوامل الأولية لعدد طبيعي $.n$ تقوم $\omega (n)$ (أوميغا الصغيرة) بحساب كل عامل أولي مميز ، في حين أن الدالة $\Omega (n)$ (أوميغا كبيرة) تحسب العدد الإجمالي للعوامل الأولية لـ $n$.

يمكن للمرئ أن يلاحظ أن هاتان الدالتان هما دالتان ضربيتان (انظر دالة الحسابية). على سبيل المثال، إذا كان لدينا تعميل أولي لـ $n$ على النحو التالي $n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}$ بحيث$p_{i}$ هو عدد أولي ($1\leq i\leq k$)، فيتم إعطاء دوال أوميغا الأولية بواسطة $\omega (n)=k$ و $\Omega (n)=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{k}$ . تملك دوال عدّ العوامل الأولية هذه أهمية كبيرة في مبرهنات وعلاقات نظرية الأعداد

خصائص وعلاقات

$\omega (n)$ هي دالة جمعية و $\Omega (n)$ هي جمعية بالكامل، نُعرف $\omega (n)$ كالآتي:

$\omega (n)=\sum _{p\mid n}1$

إذا كان $p$ يقسم $n$ مرة واحدة على الأقل نحسبه مرة واحدة فقط، على سبيل المثال $\omega (12)=\omega (2^{2}3)=2$. أما بالنسبة ل $\Omega (n)$ فتُعرّف كالآتي:

$\Omega (n)=\sum _{p^{\alpha }\mid \mid n}\alpha$

إذا كان $p$ يقسم $n$ عدد $\alpha$ من مرات فنحسب القوى، على سبيل المثال $\Omega (12)=\Omega (2^{2}3^{1})=3$. لاحظ أنه $\Omega (n)\geq \omega (n)$. إذا كان $\Omega (n)=\omega (n)$ فإن $n$ هو مربع حر ويعبر عنه باستعمال دالة موبيوس كالآتي:

$\mu (n)=(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}$

إذا كان $\Omega (n)=1$ فإن $n$ عدد أولي.

من المعروف أن متوسط ترتيب دالة القواسم يستوفي المتفاوتة $2^{\omega (n)}\leq d(n)\leq 2^{\Omega (n)}$ .

مثل العديد من الدوال الحسابية ، لا توجد صيغة دقيقة ل $\Omega (n)$ أو $\omega (n)$ لكن هناك تقديرات تقريبية.

يمكن التعبير عن متوسط ترتيب $\omega (n)$ بالمتسلسة الآتية

${\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}\omega (k)\sim \log \log n+B_{1}+\sum _{k\geq 1}\left(\sum _{j=0}^{k-1}{\frac {\gamma _{j}}{j!}}-1\right){\frac {(k-1)!}{(\log n)^{k}}}$

بحيث $B_{1}\approx 0.26149721$ هو ثابت ميرتنز و $\gamma _{j}$ هي ثوابت ستيلتجيس.

الدالة $\omega (n)$ لها علاقة وثيقة مع دالة موبيوس ودالة القواسم، نذكر من هذه العلاقات

$\sum _{d\mid n}|\mu (d)|=2^{\omega (n)}$

$\sum _{d\mid n}|\mu (d)|k^{\omega (d)}=(k+1)^{\omega (n)}$

$\sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}=d(n^{2})$

$\sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}d\left({\frac {n}{r}}\right)=d^{2}(n)$

$\sum _{d\mid n}(-1)^{\omega (d)}=\prod \limits _{p^{\alpha }||n}(1-\alpha )$$\sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},\ m_{1},m_{2}{\text{ odd}},m=\operatorname {lcm} (m_{1},m_{2})$

$\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\operatorname {gcd} (k,m)=1}}\!\!\!\!1=n{\frac {\varphi (m)}{m}}+O\left(2^{\omega (m)}\right)$

الإمتداد للمستوى العقدي

تم العثور على استمرار ل $\omega (n)$ ، على الرغم من أنها ليست تحليلية في كل مكان.

$\omega (z)=\log _{2}\left(\sum _{x=1}^{\lceil Re(z)\rceil }\operatorname {sinc} \left(\prod _{y=1}^{\lceil Re(z)\rceil +1}\left(x^{2}+x-yz\right)\right)\right)$

انظر أيضا

• دالة جمعية
• دالة حسابية