ثوابت ستيلتجيس

في الرياضيات ، ثوابت ستيلتجيس هي الأعداد $\gamma _{k}$ التي تظهر في متسلسلة لوران لدالة زيتا لريمان :

تتلاقى منطقة المنطقة الزرقاء على ثابت أويلر-ماسكيروني ، وهو ثابت ستيلتجيس 0.

$\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(s-1)^{n}$

ثابت $\gamma _{0}=\gamma =0.577\dots$ يُعرف بثابت أويلر ماسكيروني .

التمثيلات

يتم إعطاء ثوابت ستيلتجيس بالنهاية الآتية :

$\gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left\{\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}-{\frac {(\ln m)^{n+1}}{n+1}}\right\}}$

(في الحالة $n=0$ ، يتطلب الجمع الأول حساب قيمة $0^{0}$ ، والذي يعتبر 1. ) صيغة كوشي التكاملية تؤدي إلى التمثيل التكاملي لأعداد ستيلتجيس :

$\gamma _{n}={\frac {(-1)^{n}n!}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-nix}\zeta \left(e^{ix}+1\right)\,dx$

تعطي أعمال كل من جنسن، فرانيل، هيرميت ، هاردي ، رامانوجان ، اينسورث، هويل، كوبو، كونون، كوفي، تشوي، بلاغوشين وبعض الكتاب الآخرين تمثيلات مختلفة بواسطة التكامل والسلاسل الانهائية . على وجه الخصوص ، تنص صيغة التكامل لجنسن-فرانيل ، التي تُنسب غالبًا بشكل خاطئ إلى اينسورث و هويل ، على ما يلي:

$\gamma _{n}={\frac {1}{2}}\delta _{n,0}+{\frac {1}{i}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{e^{2\pi x}-1}}\left\{{\frac {(\ln(1-ix))^{n}}{1-ix}}-{\frac {(\ln(1+ix))^{n}}{1+ix}}\right\}\,,\qquad \quad n=0,1,2,\ldots$

بحيث يرمز $\delta _{n,k}$ إلى دلتا كرونيكر . من بين الصيغ الأخرى ، نذكر :

$\gamma _{n}=-{\frac {\pi }{2(n+1)}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\left(\ln \left({\frac {1}{2}}\pm ix\right)\right)^{n+1}}{\cosh ^{2}\pi x}}\,dx\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad n=0,1,2,\ldots$ ${\begin{array}{l}\displaystyle \gamma _{1}=-\left[\gamma -{\frac {\ln 2}{2}}\right]\ln 2+i\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{e^{\pi x}+1}}\left\{{\frac {\ln(1-ix)}{1-ix}}-{\frac {\ln(1+ix)}{1+ix}}\right\}\\[6mm]\displaystyle \gamma _{1}=-\gamma ^{2}-\int _{0}^{\infty }\left[{\frac {1}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right]e^{-x}\ln x\,dx\end{array}}$

طالع.

الحدود والنمو المقارب

ثوابت ستيلتجيس تستوفي المتفاوتة الآتية :

$|\gamma _{n}|\leq {\begin{cases}\displaystyle {\frac {2(n-1)!}{\pi ^{n}}}\,,\qquad &n=1,3,5,\ldots \\[3mm]\displaystyle {\frac {4(n-1)!}{\pi ^{n}}}\,,\qquad &n=2,4,6,\ldots \end{cases}}$

قدمها بيرندت عام 1972. تم الحصول على متفاوتة أفضل( أي أنها تستعمل دوال أكثر بساطة) بواسطة لافريك

$|\gamma _{n}|\leq {\frac {n!}{2^{n+1}}},\qquad n=1,2,3,\ldots$

بواسطة إسرائيلوف

$|\gamma _{n}|\leq {\frac {n!C(k)}{(2k)^{n}}},\qquad n=1,2,3,\ldots$

مع $k=1,2,...$ و $C(1)=1/2,C(2)=7/12$،...من طرف نان يو و ويليامز

:$|\gamma _{n}|\leq {\begin{cases}\displaystyle {\frac {2(2n)!}{n^{n+1}(2\pi )^{n}}}\,,\qquad &n=1,3,5,\ldots \\[4mm]\displaystyle {\frac {4(2n)!}{n^{n+1}(2\pi )^{n}}}\,,\qquad &n=2,4,6,\ldots \end{cases}}$

قيم عددية

قيم أعداد ستيلتجيس هي

$n$	القيمة التقريبية ل$\gamma _{n}$.
0	+0.5772156649015328606065120900824024310421593359
1	−0.0728158454836767248605863758749013191377363383
2	−0.0096903631928723184845303860352125293590658061
3	+0.0020538344203033458661600465427533842857158044
4	+0.0023253700654673000574681701775260680009044694
5	+0.0007933238173010627017533348774444448307315394
6	−0.0002387693454301996098724218419080042777837151
7	−0.0005272895670577510460740975054788582819962534
8	−0.0003521233538030395096020521650012087417291805
9	−0.0000343947744180880481779146237982273906207895
10	+0.0002053328149090647946837222892370653029598537
100	−4.2534015717080269623144385197278358247028931053 × 1017
1000	−1.5709538442047449345494023425120825242380299554 × 10486
10000	−2.2104970567221060862971082857536501900234397174 × 106883
100000	+1.9919273063125410956582272431568589205211659777 × 1083432