دالة موبيوس

دالة موبيوس (بالإنجليزية: Möbius function)‏ الكلاسيكية هي دالة جداءية مهمة في نظرية الأعداد وفي التوافقيات. سُميت هذه الدالة هكذا نسبة لعالم الرياضيات الألماني أوغست فيرديناند موبيوس.أنشأها موبيوس عام 1832.

تعريف

تعرف دالة موبيوس (μ(n لجميع الأعداد الصحيحة الطبيعية n و تأخذ قيمة تنتمي إلى المجموعة {1، 0، 1-}, بدلالة تعميل n إلى جداء أعداد أولية و تعرف كما يلي :

• μ(n) = 1 : إ ذا لم يحتو n على أي مربع لعدد أولي ما أثناء تفكيكه لجداء أعداد أولية و كان عدد هؤلاء الأعداد زوجيا.
• μ(n) = -1 : إ ذا لم يحتو n على أي مربع لعدد أولي ما أثناء تفكيكه لجداء أعداد أولية و كان عدد هؤلاء الأعداد فرديا.
• μ(n) = 0 : إ ذا احتوى n على مربع لعدد أولي ما أثناء تفكيكه لجداء أعداد أولية, أو بتعبير آخر، إذا قبل n القسمة على مربع عدد أولي ما.

يبين الشكل التالي قيمة دالة موبيوس للأعداد الأصغر أو تساوي خمسين :

لخمسون قيمة الأولى للدالة

خصائص وتطبيقات

خصائص

دالة موبيوس هي دالة جداءية. أي أن (μ(ab) = μ(a) μ(b كلما كان العددان a و b أوليين فيما بينهما.

$\sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}n=1\\0&{\mbox{ if }}n>1.\end{cases}}$

انظر إلى صيغة القلب لموبيوس.

دالة ميرتنز

النظر إلى هاته الدالة يؤدي حتما إلى النظر إلى دالة ميرتنز المعرفة كما يلي:

$M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)$

المتسلسلات الرياضية

متسلسلة دركليه التي تولد دالة موبيوس هي المقلوب الجدائي لدالة زيتا لريمان. إذا كان s عددا مركبا جزؤه الحقيقي أكبر قطعا من الواحد، فإن:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}.$

يظهر هذا جليا من خلال جداء أويلر.

${\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }{\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)}=\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\cdots .$

انظر أيضا

• دالة ميرتنز،
• دالة ليوفيل،