حالة غير قابلة للتبسيط (معادلات تكعيبية)
يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. (يناير 2022) |
في الجبر وبالتحديد في إطار محاولات حلحلة المعادلات التكعيبية، حالة غير قابلة للتبسيط (باللاتينية: Casus irreducibilis) (بالإنجليزية: The irreducible case) ، هي حالة من الحالات اللائي يظهرن أثناء حلحلة المعادلات من الدرجة الثالثة أو أكبر من ذلك بمعاملات صحيحة من أجل الحصول على أصفار لهذه المعادلة عُبر عنهن باستعمال الجذور النونية.
الحالات الثلاث للمميز
عدللتكن المعادلة
- المميز أكبر قطعا من الصفر
- المميز أصغر قطعا من الصفر
- المميز يساوي الصفر
النص الرسمي والبرهان
عدلليكن حقلا ولتكن متعددة حدود من الدرجة الثالثة، غير قابلة للاختزال على K، ولكنها تملك ثلاث جذور حقيقية (جذور تنتمي إلى الحقل المغلق الحقيقي ل K). إذن، الحالة غير القابلة للتبسيط تتمثل في كون التعبير عن جذور هذه المتعددة للحدود بواسطة الجذور، أمرا مستحيلا.
![{\displaystyle P\in K\!\left[X\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be57e182b06b908c143d4b7ba502be56db573da)
من أجل البرهان على ذلك، ينبغي الإشارة إلى أن المميز هو عدد موجب. نشكل إذن، امتداد الحقل
انظر إلى زمرة غالوا وإلى حقل مرتب وإلى امتداد أبيلي وإلى حقل شاطر.
![{\displaystyle F\subset F({\sqrt {D}})\subset F({\sqrt {D}},{\sqrt[{p_{1}}]{\alpha _{1}}})\subset \cdots \subset K\subset K({\sqrt[{3}]{\alpha }})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a3b98c3792c57f51c3c044a07a2b773f9298b57)
![{\displaystyle t_{k}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left[{\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-k{\frac {2\pi }{3}}\right]\quad {\text{for}}\quad k=0,1,2\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae8031e9c16ebd40a00794359e06b60d7861edd6)
