زمرة غالوا

في الرياضيات، وبالتحديد في فرع من فروع الجبر التجريدي يسمى نظرية غالوا، زمرة غالوا (بالإنجليزية: Galois group)‏ لصنف معين من امتدادات الحقول هو زمرة معينة...

ليكن $L\!$ حقل امتداد $K\!$ ويُرمز لها بـ$L\!/K\!$، وليكن $G\!$ مجموعة التماثلات الذاتية لـ$L\!/K\!$، أو بعبارة أخرى لنأخذ مجموعة التماثلات الذاتية $\sigma$ من $L\!$ حيث $\sigma (x)=x$ لكل $x\in K\!$، فبالتالي تكون $K\!$ محددة. فالزمرة $G\!$ هي زمرة تحاويل $L\!$ وتسمى زمرة غالوا (بالإنجليزية: Galois group)‏ لـ$L\!/K\!$، ويُرمز لها بـ$\operatorname {Gal} (L\!/K\!)$ أو $\operatorname {Aut} (L\!/K\!)$.

ليكن $f(x)$ متعددة حدود كسرية من الدرجة $n$ ودع $K\!$ حقل انشطار $f(x)$ على $\mathbb {Q}$، أي أن الحقل الجزئي الأصغر من $\mathbb {C}$ يضم كل جذور $f$. وبالتالي فكل عنصر من عناصر زمرة غالوا $G\!$ يبدل جذور $f$ بطريقة فريدة. وبالتالي يمكن تعريف $G\!$ زمرةً جزئية من الزمرة المتماثلة $S_{n}$، وهي زمرة تباديل جذور $f$. إذا كانت $f$ غير قابلة للاختزال، تكون $G\!$ زمرة جزئية متعدية من $S_{n}$، أي أنه بإعطاء الجذرين $\alpha$ و $\beta$ لـ$f$، يوجد عنصر $\sigma$ من $G\!$ حيث يكون $\sigma (\alpha )=\beta$.