في الرياضيات ، نظام المعادلات الخطية (بالإنجليزية : System of linear equations ) هي مجموعة من المعادلات الخطية ، تضم نفس المجموعة من المتغيرات .[ 1] [ 2]
نظام خطي ذو ثلاث متغيرات، تحدد كل معادلة فيه مستوى . نقطة التقاطع هي حل هذا النظام.
3
x
+
2
y
−
z
=
1
2
x
−
2
y
+
4
z
=
−
2
−
x
+
1
2
y
−
z
=
0
{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}}
هو نظام معادلات خطية يضم ثلاث معادلات خطية تحوي ثلاث متغيرات هي x و y و z. حل نظام خطي ما تتمثل في إعطاء قيمة عددية لكل متغيراته حيث تتحقق جميع معادلاته في آن واحد. حل المثال السابق يعطي كما يلي:
x
=
1
y
=
−
2
z
=
−
2
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x&=&1\\y&=&-2\\z&=&-2\end{alignedat}}}
بما أن المعادلات الثلاثة تبقى صحيحة عند هذه القيم.
انظر إلى جبر خطي عددي وإلى نظام غير خطي وإلى تقريب (رياضيات) وإلى استخطاط وإلى نموذج رياضي .
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
⋯
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
⋯
+
a
2
n
x
n
=
b
2
⋮
⋮
⋮
⋮
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
⋯
+
a
m
n
x
n
=
b
m
.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}.\\\end{alignedat}}}
يمكن كتابة نظام المعادلات الخطية كمعادلات متجهة أو كمعادلات مصفوفة.
1. معادلات متجهة:
x
1
[
a
11
a
21
⋮
a
m
1
]
+
x
2
[
a
12
a
22
⋮
a
m
2
]
+
⋯
+
x
n
[
a
1
n
a
2
n
⋮
a
m
n
]
=
[
b
1
b
2
⋮
b
m
]
{\displaystyle x_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+x_{2}{\begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots \\a_{m2}\end{bmatrix}}+\cdots +x_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}}
2. معادلات مصفوفة:
A
x
=
b
{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }
A
=
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
⋯
a
m
n
]
,
x
=
[
x
1
x
2
⋮
x
n
]
,
b
=
[
b
1
b
2
⋮
b
m
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}}
هناك عدة طرق احل جمل المعادلات الخطية وهي
[1]
مجموعة حلول المعادلتين x − y = −13x + y = 9 هي النقطة (2, 3). مجموعة حلول معادلتين تحتويان على ثلاث متغيرات عادة ما تكون مستقيما.
انظر إلى استقلال خطي .
المعادلات x − 2y = −13x + 5y = 8 , و 4x + 3y = 7 are linearly dependent. المعادلتان 3x + 2y = 6 و 3x + 2y = 12 غير متناسقتين. انظر إلى تناقض (منطق)
على سبيل المثال، المعادلتان
3
x
+
2
y
=
6
{\displaystyle 3x+2y=6}
3
x
+
2
y
=
12
{\displaystyle \;\;\;\;3x+2y=12}
نقول عن نظام خطي انه متكافئ إذا وجدت قيمة عددية وحيدة لكل متغير من متغيراته
على سبيل المثال، المعادلتان
3
x
+
y
=
6
{\displaystyle 3x+y=6}
3
x
+
3
y
=
12
{\displaystyle \;\;\;\;3x+3y=12}
x
=
1
,
y
=
3
{\displaystyle x=1,y=3}
هناك عدة خوارزميات تمكن من حلحلة نظام من المعادلات الخطية.
x
+
3
y
−
2
z
=
5
3
x
+
5
y
+
6
z
=
7
2
x
+
4
y
+
3
z
=
8
{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;+\;&&3y&&\;-\;&&2z&&\;=\;&&5&\\3x&&\;+\;&&5y&&\;+\;&&6z&&\;=\;&&7&\\2x&&\;+\;&&4y&&\;+\;&&3z&&\;=\;&&8&\end{alignedat}}}
−
4
y
+
12
z
=
−
8
−
2
y
+
7
z
=
−
2
{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}-4y&&\;+\;&&12z&&\;=\;&&-8&\\-2y&&\;+\;&&7z&&\;=\;&&-2&\end{alignedat}}}
x
=
5
+
2
z
−
3
y
y
=
2
+
3
z
z
=
2
{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;=\;&&5&&\;+\;&&2z&&\;-\;&&3y&\\y&&\;=\;&&2&&\;+\;&&3z&&&&&\\z&&\;=\;&&2&&&&&&&&&\end{alignedat}}}
انظر إلى مصفوفة ممتدة .
قاعدة كرامر هي صيغة تمكن من حلحلة نظام من المعادلات الخطية، حيث يساوي كل متغير نسبة بين محددتين اثنتين. على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:
x
+
3
y
−
2
z
=
5
3
x
+
5
y
+
6
z
=
7
2
x
+
4
y
+
3
z
=
8
{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&\;+&\;3y&\;-&\;2z&\;=&\;5\\3x&\;+&\;5y&\;+&\;6z&\;=&\;7\\2x&\;+&\;4y&\;+&\;3z&\;=&\;8\end{alignedat}}}
تعطى بما يلي:
x
=
|
5
3
−
2
7
5
6
8
4
3
|
|
1
3
−
2
3
5
6
2
4
3
|
,
y
=
|
1
5
−
2
3
7
6
2
8
3
|
|
1
3
−
2
3
5
6
2
4
3
|
,
z
=
|
1
3
5
3
5
7
2
4
8
|
|
1
3
−
2
3
5
6
2
4
3
|
.
{\displaystyle x={\frac {\,\left|{\begin{matrix}5&3&-2\\7&5&6\\8&4&3\end{matrix}}\right|\,}{\,\left|{\begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix}}\right|\,}},\;\;\;\;y={\frac {\,\left|{\begin{matrix}1&5&-2\\3&7&6\\2&8&3\end{matrix}}\right|\,}{\,\left|{\begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix}}\right|\,}},\;\;\;\;z={\frac {\,\left|{\begin{matrix}1&3&5\\3&5&7\\2&4&8\end{matrix}}\right|\,}{\,\left|{\begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix}}\right|\,}}.}
على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:
x
+
y
=
3
x
−
y
=
3
{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&\;+&\;y&\;=&\;3\\x&\;-&\;y&\;=&\;3\\\end{alignedat}}}
نضرب المعادلة الأولى في 1- و نجمعها مع الثانية فنجد:
−
2
y
=
−
2
{\displaystyle -2y=-2\,}
أي أن:
y
=
1
{\displaystyle y=1\,}
الآن نعوض y بـ1 فنجد:
x
=
2
{\displaystyle x=2\,}
على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:
x
+
y
=
3
x
−
y
=
1
{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&\;+&\;y&\;=&\;3\\x&\;-&\;y&\;=&\;1\\\end{alignedat}}}
نأخذ
x
=
3
−
y
{\displaystyle x=3-y\,}
3
−
2
y
=
1
{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}3&\;-&\;2y&\;=&\;1\\\end{alignedat}}}
أي :
y
=
3
−
1
2
=
1
{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}y&\;=&\;{\frac {3-1}{2}}&\;=&\;1\\\end{alignedat}}}
نعوض قيمة y بـ 1 في المعادلة (1) فنجد :
x
+
1
=
3
{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x+1&\;=&\;3\\\end{alignedat}}}
أي أن :
x
=
3
−
1
=
2
{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&\;=&\;3-1&\;=&\;2\\\end{alignedat}}}
هكذا :
x
=
2
{\displaystyle x=2\,}
y
=
1
{\displaystyle y=1\,}
يقال عن نظام من المعادلات الخطية أنه متجانس إذا كانت جميع الحدود التي لا ترتبط بمتغيرات تساوي الصفر:
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
⋯
+
a
1
n
x
n
=
0
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
⋯
+
a
2
n
x
n
=
0
⋮
⋮
⋮
⋮
a
m
1
x
1
+
a
m
2
x
2
+
⋯
+
a
m
n
x
n
=
0.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\,\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0.\\\end{alignedat}}}
علاقتها بالأنظمة غير المتجانسة
