قاعدة كرامر

في الجبر الخطي، قاعدة كرامر (بالإنجليزية: Cramer's rule)‏ هي مبرهنة تعطي حلحلة لنظام معادلات خطية (أو ما قد يدعى جملة المعادلات الخطية) بدلالة المحددات. سميت هذه القاعدة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات السويسري غابرييل كرامر (1704-1752)م. حسابيا تعتبر هذه الطريقة غير فعالة جدا لذلك فهي نادرة الاستخدام سيما في التطبيقات التي تتضمن العديد من المعادلات. ولذلك تستخدم طريقة غاوس عادة في حل جمل المعادلات المتعددة بدلا من قاعدة كرامر.

رسم تخطيطي يوضح متوازيات الأضلاع المتداخلة المرتبطة بزوج من المتجهات

الحالة العامة

ليكن نظاما من n معادلة خطية عدد مجاهيله n، مُثل باستعمال المصوففات كما يلي:

$Ax=b$

حيت A مصفوفة مربعة بُعدها هو n × n وحيث محددها غير مساو للصفر وحيث المتجهة $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\mathrm {T} }$ هي المتجهة المعبرة عن متغيرات هذا النظام. تنص قاعدة كرامر على هذا النظام يقبل حلحلة وحيدة تعطي لكل متغير من متغيراته القيمة التالية:

$x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}\qquad i=1,\ldots ,n$

حيث المصفوفة $A_{i}$ حُصل عليها بتعويض العمود i من المصفوفة A بالمتجهة b.

البرهان

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=&b_{n}.\end{matrix}}$

$x_{j}={\frac {L_{(j)}\cdot \mathbf {b} }{\det(A)}}.$

${\frac {1}{\det(A)}}M=A^{-1}$

مثال

ليكن نظام المعادلات الخطية التالي، مكونا من ثلاث معادلات:

$-2x+2y-3z=2$

$-x+y+3z=1$

$2x-z=-1$

مصفوفة المعاملات هي كما يلي:

$A={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}$

أما الجانب الأيمن من هذه المعالات الثلات، فقد يمثل بالمتجهة التالية

$b={\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}}$

نظام المعادلات الثلاث أعلاه قد يكتب إذن كما يلي:

$AX=b$

حيث

$X={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}$

من أجل حساب قيمة x أو y أو z، ينبغي حساب محدد المصفوفة A. يتم هذا الحساب كما يلي رجوعا إلى صيغة لابلاس :

:

$det(A)={\begin{vmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{vmatrix}}=-2{\begin{vmatrix}1&3\\0&-1\end{vmatrix}}-2{\begin{vmatrix}-1&3\\2&-1\end{vmatrix}}+-3{\begin{vmatrix}-1&1\\2&0\end{vmatrix}}$

إذن

$det(A)=18$

من أجل حساب قيمة x، يحصل على المصفوفة التالية (بتعويض العمود الأول بالمتجهة b):

$A_{x}={\begin{bmatrix}2&2&-3\\1&1&3\\-1&0&-1\end{bmatrix}}$

ينبغي حساب محدد $A_{x}$ كما يلي: $det(A_{x})=-9$

$x={\frac {\det(A_{x})}{\det(A)}}=-9/18=-1/2$

بنفس الطريقة تحسب y و z.

ايجاد المصفوفة العكسية

المقالة الرئيسة: مصفوفة قابلة للعكس § طرق عكس مصفوفة

لتكن مصفوفة A بُعداها هما n × n.

$A\,\operatorname {adj} A=(\operatorname {adj} A)\,A=\operatorname {det} (A)I$

حيث $\operatorname {adj} A$ يشير إلى المصفوفة المصاحبة لهذه المصفوفة وحيث $\operatorname {det} (A)$ هو محددها وI هي مصفوفة الوحدة.

إذا كان محدد المصفوفة A غير مساو للصفر، فإنها قابلة للعكس ومعكوستها تُحسب كما يلي:

$A^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (A)}}\operatorname {adj} (A).$

انظر أيضا

• مصفوفة