في الرياضيات ، نصف قطر التقارب (بالإنجليزية : Radius of Convergence ) لمتسلسلة قوى هو نصف قطر أكبر قرص تتقارب فيه المتسلسلة، وهو إما عدد حقيقي غير سالب أو ∞.
وفقًا لمبرهنة كوشي-هادامار ، تعطى نصف قطر تقارب متسلسلة من الشكل
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
x
0
)
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}}
، مع
a
n
,
x
,
x
0
∈
R
{\displaystyle a_{n},x,x_{0}\in \mathbb {R} }
، بواسطة العبارة التالية:[ 1]
1
r
=
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
|
|
a
n
|
{\displaystyle {\frac {1}{r}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}}
إذا كان نصف قطر تقارب متسلسلة دالة هو ما لا نهاية، يمكن أن تمدد الدالة إلى دالة كاملة .
من أبسط الأمثلة هو نصف قطر تقارب متسلسلة القوى للدالة الأسية :
e
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}
نحسب نصف قطر التقارب:
1
r
=
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
|
|
a
n
|
=
lim
n
→
∞
|
1
(
n
+
1
)
!
|
÷
|
1
n
!
|
=
lim
n
→
∞
|
n
!
(
n
+
1
)
!
|
=
lim
n
→
∞
|
n
!
(
n
+
1
)
n
!
|
=
lim
n
→
∞
|
1
n
+
1
|
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{r}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {1}{(n+1)!}}\right|\div \left|{\frac {1}{n!}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {n!}{(n+1)!}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {n!}{(n+1)n!}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {1}{n+1}}\right|\\&=0\end{aligned}}}
إذن نصف قطر تقارب المتسلسلة هو
∞
{\displaystyle \infty }
.
نعتبر متسلسلة ماكلورين للدالة
ln
(
1
+
x
)
{\displaystyle \ln(1+x)}
:
ln
(
1
+
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
n
x
n
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
−
⋯
,
{\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,}
نحسب نصف قطر تقاربه:
1
r
=
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
|
|
a
n
|
=
lim
n
→
∞
|
(
−
1
)
n
n
+
1
|
÷
|
(
−
1
)
n
−
1
n
|
=
lim
n
→
∞
|
(
−
1
)
n
n
+
1
|
×
|
n
(
−
1
)
n
−
1
|
=
lim
n
→
∞
|
(
−
1
)
n
n
+
1
|
×
|
−
n
(
−
1
)
n
|
=
lim
n
→
∞
|
−
n
n
+
1
|
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{r}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\right|\div \left|{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\right|\times \left|{\frac {n}{(-1)^{n-1}}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\right|\times \left|{\frac {-n}{(-1)^{n}}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {-n}{n+1}}\right|\\&=1\end{aligned}}}
إذن نصف قطر تقارب المتسلسلة هو
r
=
1
{\displaystyle r=1}
.