الإشتقاق الجزئي ( بالإنجليزية : Partial derivative ) في علم الرياضيات هو إشتقاقدالة رياضية مكونة من عدةمتغيرات بحيث يكون ذلكالإشتقاق بالنسبة لأحد هذه المتغيرات مع معاملة باقي المتغيرات كثوابت ، والاشتقاق الجزئي ذو فائدة كبيرة في التحليل الشعاعي و الهندسة التفاضلية .
والاشتقاق الجزئي يستخدم عندما تكون الدالة ذات عدة متغيرات ، ويستخدم الرمز (∂) بدلا من الرمز (d)؛ لانه اشتقاق لدالة في عدة متغيرات .
وحيث أن المشتقة الجزئية الخاصة للدالة ذات المتغييرين (ƒ (x , y إذا تم إشتقاقها بالنسبة للمتغير (
x
{\displaystyle x}
) يمكن التعيبر عنها بالصيغ الرياضية الآتية :-
خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-variant" mathvariant="normal">′<!-- ′ --></mi> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msub> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msub> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msub> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> or </mtext> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex"><nowiki>{\displaystyle f_{x}^{\prime },\ f_{x},\ \partial _{x}f,\ D_{x}f,\ D_{1}f,\ {\frac {\partial }{\partial x}}f,{\text{ or }}{\frac {\partial f}{\partial x}}.}</nowiki></annotation> </semantics> }
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70df1718eb096a9be95cd97fb560f19776b12e57
وبشكل عام ، تكون الدالة المشتقة جزئياً تملك نفس الشكل العام الخاص بالدالة الأصلية ، ويمكن التعبير عن هذا رياضياً كالتالي.[ 5]
خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="1em"></mspace> <mtext> </mtext> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>x</mi> <mtext> </mtext> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{x}(x,y,....)\quad \ ,\ {\partial y \over \partial x\ }=f'_{x}(x,y,.....)}</annotation> </semantics> }
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed9946aff2d160b654c86c2c3f7a4ab3f2101b02
بالإضافة أنه يمكن استخدام الإشتقاق الجزئي أيضاً للدالات ذات الثلاث متغيرات
f
(
x
,
y
,
z
)
{\textstyle f(x,y,z)}
للدالة ثلاث مشتقّات ، وكل مشتقّة بدلالة واحدة من الثلاث متغيرات ، ويكون التعويض في أي واحدةً فيهنَّ يعطي ميل خط المماس الذي يقطع الدالة بالإتجاه العمودي أو الأفقي أو بإتجاه الناظر أو عكسه حسب نوع المشتقّة .
ويكننا القول أن ميل المماس اللحظي في نقطة موجودة عند دالة تمتلك الأحداثيات
f
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\textstyle f(x_{0},y_{0},z_{0})}
للمشتقّة يمكن التعبير عنه كما يلي :
خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">d</mi> <mspace width="negativethinmathspace"></mspace> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">d</mi> <mspace width="negativethinmathspace"></mspace> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle {\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!x}={\sqrt <nowiki>{{\partial f \over \partial x}^{2}+{\partial f \over \partial y}^{2}+{\partial f \over \partial z}^{2}}</nowiki>}}</annotation> </semantics> }
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45265709e21b1c168b3374e5a3345de793e22b1a
ولأيجاد ميل المماس عند نقطة لدالة ذات الصيغة
f
(
x
,
y
)
=
C
{\displaystyle f(x,y)=C}
C
{\textstyle C}
ثابت ، فإننا نسطيع القول أنًّ :-
خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> <mspace width="negativethinmathspace"></mspace> <mi>F</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>F</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>F</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>d</mi> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\operatorname {d} \!F}={\partial F \over \partial x}dx+{\partial F \over \partial y}dy}</annotation> </semantics> }
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e83ff956bcd76d4325821a454d6dd25a21dcab69
عدل
لنفترض أن ƒ عبارة عن إقتران ، أو دالة ذات متغييرين حيث أنَّ :
خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mspace width="negativethinmathspace"></mspace> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> <mspace width="thinmathspace"></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=f(x,y)=\,\!x^{2}+xy+y^{2}.\,}</annotation> </semantics> }
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a75a23b0746a2740012035a8d5fd2f48e87a9e8 فإنَّ هذه الدالة تمتلك مشتقَّتان جزئيتان ، بحيث تكون المشتقّة الأولى بدلالة المتغيّر (
x
{\displaystyle x}
الإشتقاق باستخدام قواعد الإشتقاق ، وأفتراض أن المتغيّر الثاني (
y
{\displaystyle y}
ثابت ، أي أنّ مشتقته تساوي صفراً ، وبناءً عليه ، فإن مشتقّة الدالة "
f
{\displaystyle f}
" بالنسبة إلى المتغيّر (
x
{\displaystyle x}
) بناءً على حساب التفاضل والتكامل يمكن حسابها كما يلي :
خطأ رياضيات (SVG (يمكن تمكين MathML عبر البرنامج المساعد للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "http://localhost:6011/ar.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex"><nowiki>{\displaystyle \ {\frac {\partial }{\partial x}}(f)=\ {\frac {\partial }{\partial x}}(x^{2}+xy+y^{2})=\ {\frac {\partial }{\partial x}}(x^{2})+\ {\frac {\partial }{\partial x}}(xy)+\ {\frac {\partial }{\partial x}}(y^{2})}</nowiki></annotation> </semantics> }
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d634716e322541321fadd2e7193d38f039b7d142
∂
∂
x
(
f
)
=
2
x
+
y
{\displaystyle \ {\frac {\partial }{\partial x}}(f)=2x+y}
وبالطريقة ذاتها ، يمكن حساب المشتقّة الخاصة بالدّالة
f
(
x
,
y
)
=
Z
{\textstyle f(x,y)=Z}
المتغيّر الثاني (
y
{\displaystyle y}
خط المماس عند النقاط المحددة إذا كان إتجاهه عامودياً .
وكما هو مبين ، فإن الرسم البياني الخاص بالدالة السابقة هو رسم بياني ثلاثي الأبعاد ، وهو يبيّن الطوبولوجيا الخاصة بالسطح ، والموجودة في الفراغ أو ما يسمى بالفضاء الإقليدي ، حيث أن منحنى قاعدة ميل المماس الخاص بالدالة
f
(
x
,
y
)
=
Z
{\displaystyle f(x,y)=Z}
للمتغيّر الأول (
x
{\displaystyle x}
x
=
x
0
{\textstyle x=x_{0}}
المنحى الخاص بالدالة بإتجاه أفقي يوازي المحور الأفقي ، أو المحور السيني كما يطلق عليه في الرياضيات ، حيث تكون النتيجة من التعويض هي ميل المماس المار أفقياً من الرسم الثلاثي الأبعاد عند تلك النقطة .
وفي الغالب ، يتم الأهتمام عند رسم الدالة فقط بالخطوط التي تظهر موازيةً للمستوى الأحداثي [ 5] .
عدل
لتعريف العام باستخدام النهايات [ 6]
عدل
يمكن وضع تعريف عام للمشتقّة الجزئية ، باستخدام النهايات ، ويعتمد شكل التعريف العام بناءً على عدد المتغيّرات التي تتكون منها الدالة ، وعلى نوع المشتقّة إذا كانت بدلالة المتغيّر (
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
Z
{\textstyle Z}
المتغيّرات التي قد تحل مكانها . فيمكنننا التعبير عن المشتقة الجزئية الخاصة بالدالة (ƒ (x , y بدلالة المتغير ( x ) بالنهاية التالية :-
∂
f
∂
x
=
lim
h
→
0
f
(
x
,
y
+
Δ
y
)
−
f
(
x
,
y
)
/
h
{\displaystyle {\partial f \over \partial x}=\lim _{h\to 0}f(x,y+\Delta y)-f(x,y)/h}
ولكن بشكلٍ عام ، فإنَّ إيجاد المشتقّات باستخدام النهايات هي وسيلة تقليدية ، وغير ضرورية دائماً إلا أن صيغها قد تستعمل في إشتقاق القوانين ، وفي إشتقاق دالات لا يمكن إشتقاقها عن طريق قواعد الإشتقاق ، وفي تطبيقات أُخرى .
الدالة الرياضية
f
(
x
,
y
,
.
.
.
.
)
=
Z
{\textstyle f(x,y,....)=Z}
تفسيرها ، أو وضعها كعائلة من الدالات تحمل متغيّر واحد بإستخدام المتغيرات الأُخرى ، فمثلاً الدالة :-
f
(
x
,
y
)
=
f
y
(
x
)
=
x
2
+
x
y
+
y
2
.
{\displaystyle f(x,y)=f_{y}(x)=\,\!x^{2}+xy+y^{2}.\,}
يمكننا إعادة كتابتها كدالة بدلالة المتغيّر (
x
{\textstyle x}
) فقط ، عن طريق أفتراض أنَّ كل متغيّر (
y
{\textstyle y}
) هو عبارة عن دالة متسقلّة بدلالة (
x
{\textstyle x}
وذلك عن طريق اعتبار المتغيّر الآخر (
y
{\textstyle y}
ثابت رقمي ، فإنْ أفترضنا أنَّ المتغيّر الآخر (
y
{\textstyle y}
) عبارة عن ثابت (
y
=
a
{\textstyle y=a}
) ؛ فأنَّ الدالة الرياضية تصبح كالتالي :
خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> <mspace width="thinmathspace"></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{a}(x)=x^{2}+ax+a^{2}.\,}</annotation> </semantics> }
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae1410d2f424987ecff31d53af39f8d1567c4a91 حيث أن
a
{\displaystyle a}
عبارة عن ثابت ، وليس متغير ، وعليه فإن مشتقّة هذه الدالة الناتجة سوف تكون كاتالي :-
خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo>.</mo> <mspace width="thinmathspace"></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{a}'(x)=2x+a.\,}</annotation> </semantics> }
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abc82897e6f5283720340f834d9dc02d7aaabdd4 وهذه النتيجة ، يمكن أن نقول عنها أنّها المشتقّة الجزئية للدالة بدلالة المتغيّر (
x
{\textstyle x}
الثوابت (
y
=
a
{\textstyle y=a}
النتيجة كما يلي : -
خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mo>.</mo> <mspace width="thinmathspace"></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex"><nowiki>{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=2x+y.\,}</nowiki></annotation> </semantics> }
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31fb108b60d74187d4232c54e429d8c03364d73b وهنا استخدمنا الرمز
∂
{\textstyle \partial }
الرمز
d
{\textstyle d}
المشتقّة هي عبارة عن مشتقّة جزئية .
وبشكلٍ عام ، يمكن تعريف المشتقّة الجزئية الخاصة للدالات التي تسمى ( n-ary function )
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
x
n
)
{\displaystyle f(x_{1},x_{2},.........,x_{n})}
النقطة
(
a
1
,
a
2
,
.
.
.
.
,
a
n
)
{\textstyle (a_{1},a_{2},....,a_{n})}
خطأ رياضيات (SVG (يمكن تمكين MathML عبر البرنامج المساعد للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "http://localhost:6011/ar.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…<!-- … --></mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…<!-- … --></mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mo>,</mo> <mo>…<!-- … --></mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…<!-- … --></mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…<!-- … --></mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mi>h</mi> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex"><nowiki>{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\dots ,a_{n})}{h}}.}</nowiki></annotation> </semantics> }
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fae288215129926cf2f3d791dc8d2b7673bc22f6 وفي الكسر الموجود في النهاية الرياضية أعلاه ، جميع المتغيّرات تبقى ثابتة إلا المتغيّر
x
i
{\textstyle x_{i}}
.
وهذا الأختيار للقيم الثابتة يمكننا من جعل الدالة ، أو الإقتران ذو متغيّرٍ واحد :
خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…<!-- … --></mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…<!-- … --></mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…<!-- … --></mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…<!-- … --></mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex"><nowiki>{\displaystyle f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),}</nowiki></annotation> </semantics> }
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e70175f9e118d1924b0863b7c61f1b8712026636 وباستخدام التعريف نجد أنَّ :-
خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…<!-- … --></mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…<!-- … --></mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…<!-- … --></mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex"><nowiki>{\displaystyle {\frac {df_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}}{dx_{i}}}(a_{i})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}).}</nowiki></annotation> </semantics> }
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cd8cf1336ba394bf0dac066d2345e47c1b71735 In other words, the different choices of a index a family of one-variable functions just as in the example above. This expression also shows that the computation of partial derivatives reduces to the computation of one-variable derivatives.
An important example of a function of several variables is the case of a scalar-valued function f (x 1 ,...xn ) on a domain in Euclidean space
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
f has a partial derivative ∂f /∂xj with respect to each variable xj . At the point a , these partial derivatives define the vector
خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∇<!-- ∇ --></mi> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo>…<!-- … --></mo> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex"><nowiki>{\displaystyle \nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right).}</nowiki></annotation> </semantics> }
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f7ccfa82b2a346312f4a0e89e0b19f930247a09 This vector is called the gradient of f at a . If f is differentiable at every point in some domain, then the gradient is a vector-valued function ∇f which takes the point a to the vector ∇f (a ). Consequently, the gradient produces a vector field .
A common abuse of notation is to define the del operator (∇) as follows in three-dimensional Euclidean space
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
unit vectors
i
^
,
j
^
,
k
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ,\mathbf {\hat {j}} ,\mathbf {\hat {k}} }
خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∇<!-- ∇ --></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">[</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">]</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold">i</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^<!-- ^ --></mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">[</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">]</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold">j</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^<!-- ^ --></mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">[</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">]</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold">k</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^<!-- ^ --></mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex"><nowiki>{\displaystyle \nabla ={\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x}}{\bigg ]}\mathbf {\hat {i}} +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial y}}{\bigg ]}\mathbf {\hat {j}} +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial z}}{\bigg ]}\mathbf {\hat {k}} }</nowiki></annotation> </semantics> }
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a85a7de9ee9f583d152b6e08c8d0e34afafeff Or, more generally, for n -dimensional Euclidean space
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
1 , x2 , x3 ,...,xn
e
^
1
,
e
^
2
,
e
^
3
,
…
,
e
^
n
{\displaystyle \mathbf {{\hat {e}}_{1}} ,\mathbf {{\hat {e}}_{2}} ,\mathbf {{\hat {e}}_{3}} ,\dots ,\mathbf {{\hat {e}}_{n}} }
خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∇<!-- ∇ --></mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑<!-- ∑ --></mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">[</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">]</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold">e</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^<!-- ^ --></mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">j</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">[</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">]</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold">e</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^<!-- ^ --></mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">[</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">]</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold">e</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^<!-- ^ --></mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">[</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">]</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold">e</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^<!-- ^ --></mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">3</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>+</mo> <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">[</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">]</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold">e</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^<!-- ^ --></mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla =\sum _{j=1}^{n}{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\bigg ]}\mathbf <nowiki>{{\hat {e}}</nowiki>_{j}} ={\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\bigg ]}\mathbf <nowiki>{{\hat {e}}</nowiki>_{1}} +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}{\bigg ]}\mathbf <nowiki>{{\hat {e}}</nowiki>_{2}} +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}{\bigg ]}\mathbf <nowiki>{{\hat {e}}</nowiki>_{3}} +\dots +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\bigg ]}\mathbf <nowiki>{{\hat {e}}</nowiki>_{n}} }</annotation> </semantics> }
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c83e9cb78d0e11d52d23d1eebfd3b90e3bea09f Like ordinary derivatives, the partial derivative is defined as a limit . Let U be an open subset of Rn f : U → R a function. The partial derivative of f at the point a = (a 1 , ..., an ) ∈ U with respect to the i -th variable ai is defined as
خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…<!-- … --></mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…<!-- … --></mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…<!-- … --></mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…<!-- … --></mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mi>h</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex"><nowiki>{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a_{i}}}f(\mathbf {a} )=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a_{1},\dots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\dots ,a_{n})-f(a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{n}) \over h}}</nowiki></annotation> </semantics> }
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f12811efbb7d3f517445d8f2d75bc4788e879f1f Even if all partial derivatives ∂f /∂ai (a ) exist at a given point a , the function need not be continuous there. However, if all partial derivatives exist in a neighborhood of a and are continuous there, then f is totally differentiable in that neighborhood and the total derivative is continuous. In this case, it is said that f is a C1 function. This can be used to generalize for vector valued functions (f : U → R'm ) by carefully using a componentwise argument.
The partial derivative
∂
f
∂
x
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}
U and can again be partially differentiated. If all mixed second order partial derivatives are continuous at a point (or on a set), f is termed a C2 function at that point (or on that set); in this case, the partial derivatives can be exchanged by Clairaut's theorem
خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex"><nowiki>{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}.}</nowiki></annotation> </semantics> }
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/327573cc5170467e602f5a9f242d0fddba03249d
^ ويكيبيديا الموسوعة الحرة ، نسب نبي الله هود .^ القرآن الكريم ، سورة الأعراف ، الآية رقم 65^ البداية والنهاية لأبن كثير ، المجلّد الأول ، قصة النبي هود - علية السلام. ^ كتاب الانساب لللصحاري ، موقع المكتبة الشاملة .^ ا ب Partial Derivative , Wikipedia .^ Calculus and analytic geometry , 5th editions ^ "Partial derivative" . Wikipedia (بالإنجليزية). 4 Sep 2017.
''
[2] حسب ما ذَكّر بعض النّسابين ، والعلماء كإبن جريرٍ ، وغيره[3] .
