دائرة داخلية

دائرة المثلث الداخلية هي دائرة تمس جميع أضلاعه من الداخل. ويُعرف مركزها بأنه النقطة الناتجة عن تقاطع منصفات زوايا المثلث، ويُرمز إليه بـ$I$. بإسقاط هذه النقطة عمودياً على أحد الأضلاع يتشكل بذلك شعاع الدائرة الداخلية.

تقاطع منصفات الزوايا في مركز الدائرة المحاطة

خصائص مركز الدائرة الداخلية

• تشكل هذه النقطة مع أحد رؤوس المثلث والمسقطين العموديين للمركز الداخلي على الضلعين التابعين لرأس المثلث المختار أربعة نقط دائرية.

برهان

ليكن ABC مثلثاً، والنقطتان D و E هما المسقطان العموديان لمركز الدائرة الداخلية I على الضلعين AC و AB على التوالي.

• إن المثلث IAD قائم الزاوية في النقطة D.
• إن المثلث IAE قائم الزاوية في النقطة E.

إذن ${\widehat {AEI}}=180-{\widehat {ADI}}$ ومنه الرباعي ADIE دائري

• تقسم هذه النقطة المثلث إلى 3 أزواج من المثلثات المتطابقة. كُل مثلثين يُشكلان شكل طائرة ورقية.

برهان

ليكن ABC مثلث نضع D و E المسقطين العموديين لمركز الدائرة الداخلية I على الضلعين AC و AB على التوالي.

• نعلم أن المثلث IAD قائم الزاوية في النقطة D.
• ونعلم أن المثلث IAE قائم الزاوية في النقطة E.
• وأن IE و ID شعاعي الدائرة.
• وكذلك المثلثين AEI و ADI يتشاركان في الضلع AI.

.ومنه نستنتج أن:

1. الزاويتين المقابلتين للضلع AI متقايستين.
2. وأن IE=ID

وبالتالي المثلثين ADI و AEI متشابهين وبالقياس على هذين المثلثين نستنتج أن مركز الدائرة الداخلي I يقسم المثلث ABC إلى ستة مثلثات متقايسة مثنى مثنى.

انظر أيضاً

• دائرة محيطة
• رباعي دائري
• دائرة داخلية
• مركز مثلث.