مجموعة مستقلة (نظرية الرسومات)

في نظرية الرسم البياني، نعرف مجموعة مستقلة أومجموعة مستقرة (stable set أو independent set) بأنها مجموعة من رؤوس رسم بياني والتي كل رأسين بها هما غير متجاوران. بمعنى آخر، المجموعة المستقلة هي مجموعة S من الرؤوس بحيث لا يوجد ضلع يربط بين كل رأسين في S. وهذا يعني أن كل ضلع في الرسم البياني له رأس واحد عالأكثر واحدة على الأكثر في S. حجم المجموعة المستقلة هو عدد الرؤوس بها. تسمى المجموعات المستقلة أيضا بمجموعات مستقرة داخليا.

هنا تسع رؤوس زرقاء تشكل أكبر مجموعة مستقلة للرسم البياني بيترسين المعمم $GP(12,4)$ .

المجموعة المستقلة القصوى (maximal independent set ) هي إما مجموعة مستقلة بحيث أن إضافة أي رأس لها ينتج عنه ضلع ينتمي بالكامل لهذه المجموعة أو مجموعة من جميع رؤوس الرسم البياني الخالي (أي لايحتوي على أضلاع).

تعرف المجموعة المستقلة القصوى بشكل آخر بأنها مجموعة مستقلة والتي لها أكبر حجم ممكن للرسم البياني G المحدد. يُسمى هذا الرقم بعدد الاستقلال (independence) لـ G ، ويرمز بالرمز $\alpha (G)$. تعتبر مسألة إيجاد المجموعة المستقلة القصوى مشكلة من النوع NP-hard بمسائل الأمثلية. فبالتالي فإنه من غير المحتمل وجود خوارزمية فعالة لإيجاد الحد الأقصى المستقل لمجموعة من الرسم البياني.

كل مجموعة مستقلة قصوى هي أيضًا الحد الأقصى، لكن العكس ليس دائما صحيح.

الخصائص

العلاقة مع غيرها من متغيرات الرسم البياني

نقول أن المجموعة مستقلة إذا وفقط إذا كانت تجمع (Clique) في تكملة الرسم البياني، وبالتالي فإن المفهومين متكاملان. في الواقع، تحتوي الرسوم البيانية الكبيرة التي ليس لها عصابات كبيرة على مجموعات كبيرة مستقلة، والذي يتم دراسته في نظرية رامزي (Ramsey theory).

أيضا يقال أن المجموعة مستقلة إذا وفقط إذا كان المكمل لها يمثل غطاء الرأس. لذلك فإن مجموع حجم أكبر مجموعة مستقلة $\alpha (G)$ وحجم الحد الأدنى من غطاء الرأس $\beta (G)$ يساوي عدد الرؤوس في الرسم البياني $V(G)$، أي أن $\alpha (G)+\beta (G)=V(G)$.

تعتبر مسألة تلوين رؤوس الرسم البياني G تجزئة (partition) لمجموعة رؤوس G إلى مجموعات جزئية مستقلة. ومن هنا يكون الحد الأدنى لعدد الألوان المطلوبة في تلوين الرؤوس، المعروف بالعدد اللوني ${\mathcal {X}}(G)$، هو على الأقل حاصل قسمة عدد الرؤوس في $G$ والرقم المستقل $\alpha (G)$.

في الـرسم ثنائي الأطراف أو التجزئة الذي لايحتوي على أي رؤوس معزولة، فإن عدد الاستقلال يساوي عدد الأضلاع في الحد الأدنى لـغطاء الأضلاع؛ هذه هي نظرية كونيج.

مجموعة مستقلة قصوى

تسمى المجموعة المستقلة التي ليس لها مجموعات جزئية بمجموعة مستقلة أخرى بأنها مجموعة قصوى. هذه المجموعات هي مجموعات مسيطرة. يحتوي كل رسم بياني على من $3^{n/3}$ على الأكثر من المجموعات المستقلة القصوى لكن العديد من الرسوم البيانية تحتوي على أقل من ذلك العدد بكثير. يتم الحصول على عدد المجموعات المستقلة القصوى في الرسوم البيانية لدورة به $n$ من الرؤوس بواسطة أرقام Perrin ، ويتم إستنتاج عدد المجموعات المستقلة القصوى في الرسوم البيانية لمسار به $n$ من الرؤوس بواسطة تسلسل Padovan . لذلك، يتناسب كلا الرقمين مع قوى الرقم البلاستيكي 1.324718 .

الحصول على مجموعات مستقلة

في علوم الكمبيوتر، تمت دراسة العديد من المشكلات الحسابية المتعلقة بمجموعات مستقلة.

• في مسألة المجموعة المستقلة القصوى ، يكون المعطيات هنا عبارة عن رسم بياني غير موجه، والناتج هو مجموعة مستقلة قصوى في الرسم البياني. إذا كان هناك عدة مجموعات مستقلة قصوى، فالمطلوب هنا مجموعة واحدة فقطاجة واحدة فقط. يشار إلى هذه المسألة أحيانًا باسم " vertex packing ".
• في مسألة مجموعة مستقله موزونه قصوى، يكون المتطلب هنا عبارة عن رسم بياني غير موجه مع أوزان لرؤوسه ويكون الناتج مجموعة مستقلة ذات أقصى مجموع للأوزان. تعتبر مسألة المجموعة المستقلة القصوى حالة خاصة من المجموعة المستقلة الموزونه القصوى والتي تكون فيها جميع الأوزان واحدة.
• في مسألة الإدراج المستقل القصوى ، نحتاج لرسم بغير موجه، ويتم البحث هنا عن قائمة بجميع مجموعاته المستقلة القصوى. يمكن حل هذه المسألة باستخدام خوارزمية روتين فرعي لمشكلة قائمة مجموعة الحد الأقصى المستقل، لأنه يجب تضمين مجموعة الحد الأقصى المستقل بين جميع مجموعات الحد الأقصى المستقل.
• مسألة قرار المجموعة المستقلة أيضا تتطلب رسم بياني غير موجه ورقم k ، وتهتم بإيجاد قيمة منطقية والتي تكون صائبة في حالة احتواء الرسم البياني على مجموعة مستقلة من الحجم k ، وخاطئة فيما عدا ذلك.

المسائل الثلاث الأولى المذكوره أعلاه مهمة في التطبيقات العملية. بينما مسألة قرار المجموعة المستقلة ليست كذلك لكنها ضرورية من أجل تطبيق نظرية اكتمال NP على المشكلات المتعلقة بالمجموعات المستقلة.

مجموعات مستقلة قصوى وأكبر تجمعات

تعتبر مسألتي المجموعة المستقلة والتجميع متكاملتين: فأي تجميع في G هو مجموعة مستقلة في الرسم البياني التكميلي لـ G والعكس صحيح. لذلك قد يتم تطبيق العديد من النتائج الحسابية بشكل جيد على حد سواء لهاتين المسألتين. على سبيل المثال، تحتوي النتائج المرتبطة بمسألة التجميع على النتائج التالية:

مسائل قرار مجموعة مستقلة هي NP- كاملة، وبالتالي لا يعتقد أن هناك خوارزمية فعالة لحلها. مسائل المجموعة المستقلة القصوى هي من النوع NP-hard فمن الصعب أيضًا تقريبها.

إيجاد أكبر مجموعات مستقلة

الخوارزميات الدقيقة

مسألة إيجاد مجموعة مستقلة قصوى هي NP-hard. ومع ذلك، يمكن حلها بشكل أكثر كفاءة بزمن $O(2^{n}\,n^{2})$ باستخدام خوارزمية القوة الغاشمة التي تدرس كل مجموعة جزئية من الرؤوس والتحقق ما إذا كانت مجموعة مستقلة ام لا.

في عام 2017، تمكن حلها بزمن $O(1.1996^{n})$ باستخدام مساحة متعددة الحدود. عند الاقتصار على الرسوم البيانية والذي به أقصى درجة هي 3، فيمكن حلها بزمن قدره $O(1.0836^{n})$.

بالنسبة للعديد من فئات الرسوم البيانية، يمكن العثور على مجموعة مستقلة للوزن الأقصى بزمن متعدد الحدود. مثال على ذلك الرسوم البيانية الخالية من المخلب و الرسوم البيانية خالية من $P_{5}$ والرسوم البيانية المثالية. بالنسبة للرسوم البيانية الوتريه فيمكن الحصول على مجموعة مستقلة موزونه قصوى بزمن خطي.

التحلل المعياري هو أداة جيدة لحل مسألة ايجاد مجموعة مستقلة موزونه قصوى؛ خوارزمية الوقت الخطي على الرسوم البيانية هي المثال الأساسي لذلك. أداة أخرى مهمة هي فواصل التجمع (Clique separator) كما وصفها تارجان.

في الرسم البياني ثنائي الأطراف، يمكن تضمين جميع الرؤوس غير الموجودة في الحد الأدنى من غطاء الرأس في مجموعة مستقلة قصوى ويمكن قراءة نظرية Kőnig لتفاصيل أكثر. فبالتالي يمكن الحصول على الحد الأدنى من أغطية الرأس باستخدام خوارزمية مطابقة ثنائية الطرف.

خوارزميات التقريب

بشكل عام، لا يمكن تقريب مسألة إيجاد مجموعة مستقلة قصوى إلى عدد ثابت في كثيرة حدود (ما لم تكن P = NP). في الواقع، فإن أقصى مجموعة مستقلة بشكل عام عبارة عن Poly-APX-Complete ، مما يعني أنه صعب مثل أي مشكلة يمكن تقريبها إلى عامل متعدد الحدود. بالرغم من ذلك، هناك خوارزميات تقريب فعالة لفئات محدودة من الرسوم البيانية.

إيجاد أكبر المجموعات مستقلة

يمكن حل مسألة إيجاد مجموعة مستقلة قصوى بزمن متعدد الحدود باستخدام خوارزمية جشعة (greedy ) تافهة. يمكن العثور على جميع المجموعات المستقلة القصوى في زمن قدره $O(3^{n/3})=O(1.4423^{n})$.

برنامج للبحث عن أقصى مجموعة مستقلة

اسم	رخصة	لغة واجهة برمجة التطبيقات	معلومات موجزة
igraph	GPL	C, Python, R, Ruby	الحل الدقيق. "تم نقل التطبيق الحالي إلى رسم من مكتبة Very Nauty Graph Library بواسطة Keith Briggs ويستخدم الخوارزمية من الورقة S. Tsukiyama و M. Ide و H. Ariyoshi و I. Shirawaka. خوارزمية جديدة لتوليد كل المجموعات المستقلة القصوى SIAM J Computing، 6: 505-517، 1977 ".
NetworkX	BSD	Python	الحل التقريبي، راجع الروتين maximum_independent_set

انظر أيضا

• مجموعة مستقلة من الأضلاع هي عبارة عن مجموعة من الأضلاع التي ب لا يوجد أضلاع مشتركة بين أي ضلعين بهذه المجموعة. وتعرف هذه المجموعة باسم مطابقة (matching ).
• تعتبر مسألة تلوين الرؤوس تجزئة لمجموعة الرؤوس إلى مجموعات مستقلة.

المراجع

• Baker، Brenda S. (1994)، "Approximation algorithms for NP-complete problems on planar graphs"، Journal of the ACM، ج. 41، ص. 153–180، DOI:10.1145/174644.174650.
• Berman، Piotr؛ Fujito، Toshihiro (1995)، "On approximation properties of the Independent set problem for degree 3 graphs"، Workshop on Algorithms and Data Structures، Lecture Notes in Computer Science، سبرنجر، ج. 955، ص. 449–460، DOI:10.1007/3-540-60220-8_84، ISBN:978-3-540-60220-0.
• Berman، Piotr؛ Karpinski، Marek (1999)، "On some tighter inapproximability results"، Automata, Languages and Programming, 26th International Colloquium, ICALP'99 Prague، Lecture Notes in Computer Science، Prague: سبرنجر، ج. 1644، ص. 200–209، DOI:10.1007/3-540-48523-6، ISBN:978-3-540-66224-2
• Bourgeois، Nicolas؛ Escoffier، Bruno؛ Paschos، Vangelis Th.؛ van Rooij، Johan M. M. (2010)، "A bottom-up method and fast algorithms for MAX INDEPENDENT SET"، Algorithm theory—SWAT 2010، Lecture Notes in Computer Science، Berlin: Springer، ج. 6139، ص. 62–73، Bibcode:2010LNCS.6139...62B، DOI:10.1007/978-3-642-13731-0_7، ISBN:978-3-642-13730-3، MR:2678485.
• Chan، T. M. (2003)، "Polynomial-time approximation schemes for packing and piercing fat objects"، Journal of Algorithms، ج. 46، ص. 178–189، CiteSeerX:10.1.1.21.5344، DOI:10.1016/s0196-6774(02)00294-8.
• Chan، T. M.؛ Har-Peled، S. (2012)، "Approximation algorithms for maximum independent set of pseudo-disks"، Discrete & Computational Geometry، ج. 48، ص. 373، arXiv:1103.1431، CiteSeerX:10.1.1.219.2131، DOI:10.1007/s00454-012-9417-5.
• Chiba، N.؛ Nishizeki، T. (1985)، "Arboricity and subgraph listing algorithms"، SIAM Journal on Computing، ج. 14، ص. 210–223، DOI:10.1137/0214017.
• Erlebach، T.؛ Jansen، K.؛ Seidel، E. (2005)، "Polynomial-Time Approximation Schemes for Geometric Intersection Graphs"، SIAM Journal on Computing، ج. 34، ص. 1302، DOI:10.1137/s0097539702402676.
• Faenza، Y.؛ Oriolo، G.؛ Stauffer، G. (2014)، "Solving the Weighted Stable Set Problem in Claw-Free Graphs"، Journal of the ACM، ج. 61، ص. 1–41، DOI:10.1145/2629600.
• Fomin، Fedor V.؛ Grandoni، Fabrizio؛ Kratsch، Dieter (2009)، "A measure & conquer approach for the analysis of exact algorithms"، Journal of the ACM، ج. 56، ص. 1–32، DOI:10.1145/1552285.1552286, article no. 25{{استشهاد}}: صيانة الاستشهاد: postscript (link).
• Frank، Andras (1976)، "Some polynomial algorithms for certain graphs and hypergraphs"، Congressus Numerantium، ج. XV، ص. 211–226.
• Füredi، Z. (1987)، "The number of maximal independent sets in connected graphs"، Journal of Graph Theory، ج. 11، ص. 463–470، DOI:10.1002/jgt.3190110403.
• Godsil، Chris؛ Royle، Gordon (2001)، Algebraic Graph Theory، New York: سبرنجر، ISBN:978-0-387-95220-8.
• Grohe، Martin (2003)، "Local tree-width, excluded minors, and approximation algorithms"، Combinatorica، ج. 23، ص. 613–632، arXiv:math/0001128، DOI:10.1007/s00493-003-0037-9.
• Grötschel، M.؛ Lovász، L.؛ Schrijver، A. (1988)، "9.4 Coloring Perfect Graphs"، Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization، Algorithms and Combinatorics، سبرنجر، ج. 2، ص. 296–298، ISBN:978-0-387-13624-0.
• Halldórsson، M. M.؛ Radhakrishnan، J. (1997)، "Greed is good: Approximating independent sets in sparse and bounded-degree graphs"، Algorithmica، ج. 18، ص. 145–163، CiteSeerX:10.1.1.145.4523، DOI:10.1007/BF02523693.
• Korshunov, A.D. (1974), "Coefficient of Internal Stability", Kibernetika (بالأوكرانية), vol. 10, pp. 17–28, DOI:10.1007/BF01069014.
• Lokshtanov، D.؛ Vatshelle، M.؛ Villanger، Y. (2014)، "Independent sets in P₅-free graphs in polynomial time"، SODA (Symposium on Discrete Algorithms)، ص. 570–581.
• Luby، Michael (1986)، "A simple parallel algorithm for the maximal independent set problem"، SIAM Journal on Computing، ج. 15، ص. 1036–1053، DOI:10.1137/0215074، MR:0861369.
• Minty، G.J. (1980)، "On maximal independent sets of vertices in claw-free graphs"، Journal of Combinatorial Theory, Series B، ج. 28، ص. 284–304، DOI:10.1016/0095-8956(80)90074-x.
• Moon، J.W.؛ Moser، Leo (1965)، "On cliques in graphs"، Israel Journal of Mathematics، ج. 3، ص. 23–28، DOI:10.1007/BF02760024، MR:0182577.
• Nakamura، D.؛ Tamura، A. (2001)، "A revision of Minty's algorithm for finding a maximum weight stable set in a claw-free graph"، Journal of Operations Research Society Japan، ج. 44، ص. 194–204.
• Nobili، P.؛ Sassano، A. (2015)، An O(n^2 log n) algorithm for the weighted stable set problem in claw-free graphs، arXiv:1501.05775، Bibcode:2015arXiv150105775N
• Robson، J. M. (1986)، "Algorithms for maximum independent sets"، Journal of Algorithms، ج. 7، ص. 425–440، DOI:10.1016/0196-6774(86)90032-5.
• Sbihi, Najiba (1980), "Algorithme de recherche d'un stable de cardinalité maximum dans un graphe sans étoile", Discrete Mathematics (بالفرنسية), vol. 29, pp. 53–76, DOI:10.1016/0012-365X(90)90287-R, MR:0553650.
• Xiao، Mingyu؛ Nagamochi، Hiroshi (2017)، "Exact algorithms for maximum independent set"، Information and Computation، ج. 255، ص. 126–146، arXiv:1312.6260، DOI:10.1016/j.ic.2017.06.001.
• Xiao، Mingyu؛ Nagamochi، Hiroshi (2013)، "Confining sets and avoiding bottleneck cases: A simple maximum independent set algorithm in degree-3 graphs"، علم الحاسوب النظري، ج. 469، ص. 92–104، DOI:10.1016/j.tcs.2012.09.022.
• Tarjan، R.E. (1985)، "Decomposition by clique separators"، Discrete Mathematics، ج. 55، ص. 221–232، DOI:10.1016/0012-365x(85)90051-2.

روابط خارجية

• إيريك ويستاين، Maximal Independent Vertex Set، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).
• Challenging Benchmarks for Maximum Clique, Maximum Independent Set, Minimum Vertex Cover and Vertex Coloring
• Independent Set and Vertex Cover, Hanan Ayad.