تعرف كثيرات حدود شيبيشيف من النوع الأول بالعلاقة التكرارية
T
0
(
x
)
=
1
T
1
(
x
)
=
x
T
n
+
1
(
x
)
=
2
x
T
n
(
x
)
−
T
n
−
1
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).\end{aligned}}}
وتكون الدالة المولدة التقليدية لـ T n
∑
n
=
0
∞
T
n
(
x
)
t
n
=
1
−
t
x
1
−
2
t
x
+
t
2
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!}
ودالة التوليد الأسية هي
∑
n
=
0
∞
T
n
(
x
)
t
n
n
!
=
1
2
(
e
(
x
−
x
2
−
1
)
t
+
e
(
x
+
x
2
−
1
)
t
)
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={1 \over 2}\left(e^{(x-{\sqrt {x^{2}-1}})t}+e^{(x+{\sqrt {x^{2}-1}})t}\right).\,\!}
تعرف كثيرات حدود شيبيشيف من النوع الثاني بطريقة مشابهة
U
0
(
x
)
=
1
U
1
(
x
)
=
2
x
U
n
+
1
(
x
)
=
2
x
U
n
(
x
)
−
U
n
−
1
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).\end{aligned}}}
من أمثلة الدوال المولدة لـ U n
∑
n
=
0
∞
U
n
(
x
)
t
n
=
1
1
−
2
t
x
+
t
2
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!}
تعريف بالنسب المثلثية
عدل
النوع الأول:
T
n
(
x
)
=
cos
(
n
arccos
x
)
=
cosh
(
n
a
r
c
c
o
s
h
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)=\cos(n\arccos x)=\cosh(n\,\mathrm {arccosh} \,x)\,\!}
حيث:
T
n
(
cos
(
ϑ
)
)
=
cos
(
n
ϑ
)
{\displaystyle T_{n}(\cos(\vartheta ))=\cos(n\vartheta )\,\!}
لقيم n = 0, 1, 2, 3,..., أما النوع الثاني:
U
n
(
cos
(
ϑ
)
)
=
sin
(
(
n
+
1
)
ϑ
)
sin
ϑ
{\displaystyle U_{n}(\cos(\vartheta ))={\frac {\sin((n+1)\vartheta )}{\sin \vartheta }}\,\!}
لهذه المتطابقة فائدة قصوى مع وجود صيغة التوليد التكرارية لأنها تسمح بحساب جيب التمام لأي تكامل من مضاعفات زاوية بدلالة جيب تمام الزاوية الأساسية.بتقييم كثيرتي حدود شيبيشف الأوليتين:
T
0
(
x
)
=
cos
0
x
=
1
{\displaystyle T_{0}(x)=\cos \ 0x\ =1\,\!}
و:
T
1
(
cos
(
x
)
)
=
cos
(
x
)
{\displaystyle T_{1}(\cos(x))=\cos(x)\,\!}
يمكن بيان أن:
cos
(
2
ϑ
)
=
2
cos
ϑ
cos
ϑ
−
cos
(
0
ϑ
)
=
2
cos
2
ϑ
−
1
{\displaystyle \cos(2\vartheta )=2\cos \vartheta \cos \vartheta -\cos(0\vartheta )=2\cos ^{2}\,\vartheta -1\,\!}
cos
(
3
ϑ
)
=
2
cos
ϑ
cos
(
2
ϑ
)
−
cos
ϑ
=
4
cos
3
ϑ
−
3
cos
ϑ
{\displaystyle \cos(3\vartheta )=2\cos \vartheta \cos(2\vartheta )-\cos \vartheta =4\cos ^{3}\,\vartheta -3\cos \vartheta \,\!}
وهكذا.
يمكن تعريف كثيرات حدود شيبيشف أيضاً بأنها حلول معادلة بل
T
i
2
−
(
x
2
−
1
)
U
i
−
1
2
=
1
{\displaystyle T_{i}^{2}-(x^{2}-1)U_{i-1}^{2}=1\,\!}
في حلقة R[x ].[ 2] بالتالي، يمكن توليدها بالطريقة القياسية لمعادلات بل بأخذ قوى حل أساسي:
T
i
+
U
i
−
1
x
2
−
1
=
(
x
+
x
2
−
1
)
i
.
{\displaystyle T_{i}+U_{i-1}{\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{i}.\,\!}
العلاقة بين كثيرات حدود شيبيشيف من النوع الأول والنوع الثاني
عدل
العلاقة متشابهة بين كثيرات حدود شيبيشيف من النوع الأول والنوع الثاني بالمعالات التالية
d
d
x
T
n
(
x
)
=
n
U
n
−
1
(
x
)
,
n
=
1
,
…
{\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}\,T_{n}(x)=nU_{n-1}(x){\mbox{ , }}n=1,\ldots }
T
n
(
x
)
=
1
2
(
U
n
(
x
)
−
U
n
−
2
(
x
)
)
.
{\displaystyle T_{n}(x)={\frac {1}{2}}(U_{n}(x)-\,U_{n-2}(x)).}
T
n
+
1
(
x
)
=
x
T
n
(
x
)
−
(
1
−
x
2
)
U
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)\,}
T
n
(
x
)
=
U
n
(
x
)
−
x
U
n
−
1
(
x
)
.
{\displaystyle T_{n}(x)=U_{n}(x)-x\,U_{n-1}(x).}
العلاقة التكرارية لمشتقات كثيرات حدود شيبيشيف يمكن اشتقاقها من هذه العلاقات
2
T
n
(
x
)
=
1
n
+
1
d
d
x
T
n
+
1
(
x
)
−
1
n
−
1
d
d
x
T
n
−
1
(
x
)
,
n
=
1
,
…
{\displaystyle 2T_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\;{\frac {d}{dx}}T_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}\;{\frac {d}{dx}}T_{n-1}(x){\mbox{ , }}\quad n=1,\ldots }
تستعمل هذه العلاقة في طريقة طيفية شيبيشيف لحل المعادلات التفاضلية.
بالمثل، يمكن تعريف التعاقبين من أزواج معادلات تكرار متبادل :
T
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle T_{0}(x)=1\,\!}
U
−
1
(
x
)
=
0
{\displaystyle U_{-1}(x)=0\,\!}
T
n
+
1
(
x
)
=
x
T
n
(
x
)
−
(
1
−
x
2
)
U
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)\,}
U
n
(
x
)
=
x
U
n
−
1
(
x
)
+
T
n
(
x
)
{\displaystyle U_{n}(x)=xU_{n-1}(x)+T_{n}(x)\,}
T
n
(
x
)
=
{
cos
(
n
arccos
(
x
)
)
,
x
∈
[
−
1
,
1
]
cosh
(
n
a
r
c
c
o
s
h
(
x
)
)
,
x
≥
1
(
−
1
)
n
cosh
(
n
a
r
c
c
o
s
h
(
−
x
)
)
,
x
≤
−
1
{\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos(x)),&\ x\in [-1,1]\\\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (x)),&\ x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (-x)),&\ x\leq -1\\\end{cases}}\,\!}
T
n
(
x
)
=
(
x
−
x
2
−
1
)
n
+
(
x
+
x
2
−
1
)
n
2
=
∑
k
=
0
⌊
n
/
2
⌋
(
n
2
k
)
(
x
2
−
1
)
k
x
n
−
2
k
=
x
n
∑
k
=
0
⌊
n
/
2
⌋
(
n
2
k
)
(
1
−
x
−
2
)
k
=
n
2
∑
k
=
0
⌊
n
/
2
⌋
(
−
1
)
k
(
n
−
k
−
1
)
!
k
!
(
n
−
2
k
)
!
(
2
x
)
n
−
2
k
(
n
>
0
)
=
n
∑
k
=
0
n
(
−
2
)
k
(
n
+
k
−
1
)
!
(
n
−
k
)
!
(
2
k
)
!
(
1
−
x
)
k
(
n
>
0
)
=
2
F
1
(
−
n
,
n
;
1
2
;
1
−
x
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&={\frac {(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}+(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}}{2}}\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(1-x^{-2})^{k}\\&={\frac {n}{2}}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}}~(2x)^{n-2k}\quad (n>0)\\&=n\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k-1)!}{(n-k)!(2k)!}}(1-x)^{k}\quad (n>0)\\&=\,_{2}F_{1}\left(-n,n;{\frac {1}{2}};{\frac {1-x}{2}}\right)\\\end{aligned}}}
U
n
(
x
)
=
(
x
+
x
2
−
1
)
n
+
1
−
(
x
−
x
2
−
1
)
n
+
1
2
x
2
−
1
=
∑
k
=
0
⌊
n
/
2
⌋
(
n
+
1
2
k
+
1
)
(
x
2
−
1
)
k
x
n
−
2
k
=
x
n
∑
k
=
0
⌊
n
/
2
⌋
(
n
+
1
2
k
+
1
)
(
1
−
x
−
2
)
k
=
∑
k
=
0
⌊
n
/
2
⌋
(
2
k
−
(
n
+
1
)
k
)
(
2
x
)
n
−
2
k
(
n
>
0
)
=
∑
k
=
0
⌊
n
/
2
⌋
(
−
1
)
k
(
n
−
k
k
)
(
2
x
)
n
−
2
k
(
n
>
0
)
=
∑
k
=
0
n
(
−
2
)
k
(
n
+
k
+
1
)
!
(
n
−
k
)
!
(
2
k
+
1
)
!
(
1
−
x
)
k
(
n
>
0
)
=
(
n
+
1
)
2
F
1
(
−
n
,
n
+
2
;
3
2
;
1
−
x
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}U_{n}(x)&={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n+1}-(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n+1}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}(1-x^{-2})^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {2k-(n+1)}{k}}~(2x)^{n-2k}\quad (n>0)\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}~(2x)^{n-2k}\quad (n>0)\\&=\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k+1)!}{(n-k)!(2k+1)!}}(1-x)^{k}\quad (n>0)\\&=(n+1)\,_{2}F_{1}\left(-n,n+2;{\frac {3}{2}};{\frac {1-x}{2}}\right)\end{aligned}}}
حيث
2
F
1
{\displaystyle _{2}F_{1}}
هي دالة مثلثية زائدية .
من المتطابقات المفيدة في تحويل كثيرات الحدود
T
n
(
1
−
2
x
2
)
=
(
−
1
)
n
T
2
n
(
x
)
{\displaystyle T_{n}\left(1-2x^{2}\right)=(-1)^{n}T_{2n}(x)}
و
U
n
(
1
−
2
x
2
)
x
=
(
−
1
)
n
U
2
n
+
1
(
x
)
.
{\displaystyle U_{n}\left(1-2x^{2}\right)x=(-1)^{n}U_{2n+1}(x).}
لأي من النوعين في كثيرات حدود شيبيشف من الدرجة n يوجد لها n جذور بسيطة مختلفة تدعى جذور شيبيشف في الفترة [−1,1]. باستعمال التعريف المثلثي والحقيقة القائلة بأن
cos
(
π
2
(
2
k
+
1
)
)
=
0
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}\,(2k+1)\right)=0}
يمن إثبات أن جذور T n هي
x
k
=
cos
(
π
2
2
k
−
1
n
)
,
k
=
1
,
…
,
n
.
{\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2k-1}{n}}\right),\quad k=1,\ldots ,n.}
بالمثل جذور U n هي
x
k
=
cos
(
k
n
+
1
π
)
,
k
=
1
,
…
,
n
.
{\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n+1}}\pi \right),\quad k=1,\ldots ,n.}
باشتقاق كثيرات الحدود في صورها المثلثية، يمكن بسهولة الوصل لايلي:
d
T
n
d
x
=
n
U
n
−
1
{\displaystyle {\frac {dT_{n}}{dx}}=nU_{n-1}\,}
d
U
n
d
x
=
(
n
+
1
)
T
n
+
1
−
x
U
n
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {dU_{n}}{dx}}={\frac {(n+1)T_{n+1}-xU_{n}}{x^{2}-1}}\,}
d
2
T
n
d
x
2
=
n
n
T
n
−
x
U
n
−
1
x
2
−
1
=
n
(
n
+
1
)
T
n
−
U
n
x
2
−
1
.
{\displaystyle {\frac {d^{2}T_{n}}{dx^{2}}}=n{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x^{2}-1}}=n{\frac {(n+1)T_{n}-U_{n}}{x^{2}-1}}.\,}
إن كلا من T n وU n تكونان متواليات كثيرات حدود متعامدة . كثيرات الحدود من النوع الأول تكون متعامدة بالنسبة للوزن
1
1
−
x
2
,
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\,\!}
في الفترة (−1,1), أي أن:
∫
−
1
1
T
n
(
x
)
T
m
(
x
)
d
x
1
−
x
2
=
{
0
:
n
≠
m
π
:
n
=
m
=
0
π
/
2
:
n
=
m
≠
0
{\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\begin{cases}0&:n\neq m\\\pi &:n=m=0\\\pi /2&:n=m\neq 0\end{cases}}}
بالمثل، كثيرات الحدود من النوع الثاني تكون متعامدة بالنسبة للوزن
1
−
x
2
{\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}\,\!}
على الفترة [−1,1], أي أن:
∫
−
1
1
U
n
(
x
)
U
m
(
x
)
1
−
x
2
d
x
=
{
0
:
n
≠
m
,
π
/
2
:
n
=
m
.
{\displaystyle \int _{-1}^{1}U_{n}(x)U_{m}(x){\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\begin{cases}0&:n\neq m,\\\pi /2&:n=m.\end{cases}}}
لأي قيمة n ≥ 1, بين كثيرات الحدود من الدرجة n مع معامل أسبقية 1,
f
(
x
)
=
1
2
n
−
1
T
n
(
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)}
هي تلك التي لها قيمة مطلقة أعظمية في الفترة [−1, 1] تكون أصغرية.
هذه القيمة الأعظمية تكون
1
2
n
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{2^{n-1}}}}
و|ƒ(x )| تصل لهذه القيمة العظمى تماماً n + 1 من المرات: عند
x
=
cos
k
π
n
for
0
≤
k
≤
n
.
{\displaystyle x=\cos {\frac {k\pi }{n}}{\text{ for }}0\leq k\leq n.}
صلتها بكثيرات حدود أخرى
عدل
T
n
(
x
)
=
1
(
n
−
1
2
n
)
P
n
−
1
2
,
−
1
2
(
x
)
=
n
2
C
n
0
(
x
)
,
{\displaystyle T_{n}(x)={\frac {1}{n-{\frac {1}{2}} \choose n}}P_{n}^{-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}(x)={\frac {n}{2}}C_{n}^{0}(x),}
U
n
(
x
)
=
1
2
(
n
+
1
2
n
)
P
n
1
2
,
1
2
(
x
)
=
C
n
1
(
x
)
.
{\displaystyle U_{n}(x)={\frac {1}{2{n+{\frac {1}{2}} \choose n}}}P_{n}^{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}(x)=C_{n}^{1}(x).}
بعض من كثيرات حدود شيبيشف الأولى من النوع الأول في المجال −1 < x < 1 : الأسطح T 0 , T 1 , T 2 , T 3 , T 4 وT 5 .
بعض كثيرات حدود شيبيشف الأولى من النوع الأول هي
T
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle T_{0}(x)=1\,}
T
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle T_{1}(x)=x\,}
T
2
(
x
)
=
2
x
2
−
1
{\displaystyle T_{2}(x)=2x^{2}-1\,}
T
3
(
x
)
=
4
x
3
−
3
x
{\displaystyle T_{3}(x)=4x^{3}-3x\,}
T
4
(
x
)
=
8
x
4
−
8
x
2
+
1
{\displaystyle T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1\,}
T
5
(
x
)
=
16
x
5
−
20
x
3
+
5
x
{\displaystyle T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x\,}
T
6
(
x
)
=
32
x
6
−
48
x
4
+
18
x
2
−
1
{\displaystyle T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\,}
T
7
(
x
)
=
64
x
7
−
112
x
5
+
56
x
3
−
7
x
{\displaystyle T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\,}
T
8
(
x
)
=
128
x
8
−
256
x
6
+
160
x
4
−
32
x
2
+
1
{\displaystyle T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\,}
خطأ رياضيات (SVG (يمكن تمكين MathML عبر البرنامج المساعد للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "http://localhost:6011/ar.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle T_9(x) = 256x^9 – 576x^7 + 432x^5 – 120x^3 + 9x. \,}
بعض من كثيرات حدود شيبيشف الأولى من النوع الثاني في المجال −1 < x < 1: الأسطح U 0 , U 1 , U 2 , U 3 , U 4 وU 5 .
بعض كثيرات حدود شيبيشف الأولى من النوع الثاني هي
U
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle U_{0}(x)=1\,}
U
1
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle U_{1}(x)=2x\,}
U
2
(
x
)
=
4
x
2
−
1
{\displaystyle U_{2}(x)=4x^{2}-1\,}
U
3
(
x
)
=
8
x
3
−
4
x
{\displaystyle U_{3}(x)=8x^{3}-4x\,}
U
4
(
x
)
=
16
x
4
−
12
x
2
+
1
{\displaystyle U_{4}(x)=16x^{4}-12x^{2}+1\,}
U
5
(
x
)
=
32
x
5
−
32
x
3
+
6
x
{\displaystyle U_{5}(x)=32x^{5}-32x^{3}+6x\,}
U
6
(
x
)
=
64
x
6
−
80
x
4
+
24
x
2
−
1
{\displaystyle U_{6}(x)=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\,}
U
7
(
x
)
=
128
x
7
−
192
x
5
+
80
x
3
−
8
x
{\displaystyle U_{7}(x)=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\,}
U
8
(
x
)
=
256
x
8
−
448
x
6
+
240
x
4
−
40
x
2
+
1
{\displaystyle U_{8}(x)=256x^{8}-448x^{6}+240x^{4}-40x^{2}+1\,}
U
9
(
x
)
=
512
x
9
−
1024
x
7
+
672
x
5
−
160
x
3
+
10
x
.
{\displaystyle U_{9}(x)=512x^{9}-1024x^{7}+672x^{5}-160x^{3}+10x.\,}