مبرهنة غرين

في الرياضيات، مبرهنة غرين (بالإنجليزية: Green's theorem)‏ تعطي العلاقة بين التكامل الخطي حول منحنى بسيط مغلق C والتكامل الثنائي على منطقة مستوية D محصورة ضمن C. تعد النظرية حالة خاصة ثنائية البعد من نظرية أعم هي مبرهنة ستوكس، وجاء الاسم كتقدير للرياضياتي الإنكليزي جورج غرين.

مبرهنة غرين

معلومات عامة

جزء من	قائمة المبرهنات الرياضية
سُمِّي باسم	جورج جرين
يدرسه	تفاضل وتكامل
تعريف الصيغة	$\iint _{S}\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\right)\mathrm {d} A=\int _{\partial S}F_{1}\,\mathrm {d} x+F_{2}\,\mathrm {d} y$
الرموز في الصيغة	$F_{1}$ $F_{2}$ $S$ $\partial S$ $\iint _{S}f\,\mathrm {d} A$ $\int _{\boldsymbol {c}}f\,\mathrm {d} s$
أثبته	برنارد ريمان

ليكن C منحنى مغلق بسيط، إيجابي الوجهة، متفرع أملس، في المستوى $\mathbb {R} ^{2}$، ولتكن D المنطقة المحصورة بالمنحنى C. إذا كانت L وM دوال في (x، y) معرفة على منطقة مفتوحة تحتوي D ولها مشتقات جزئية متصلة هناك، فإن

$\oint _{C}(L\,\mathrm {d} x+M\,\mathrm {d} y)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y.$

في حالة الوجهة الإيجابية، يمكن رسم سهم يشير باتجاه عكس عقارب الساعة في الدائرة الصغيرة الموجودة وسط علامة التكامل ($\oint$).

لمبرهنة غرين أهمية كبيرة في الفيزياء، لحل تكاملات جريان ثنائي البعد، وتنص على أن مجموع التدفقين عند أي نقطة داخل الحجم تساوي إجمالي التدفق المتجمع حول مساحة مغلقة.

البرهان عندما تكون D منطقة بسيطة

إذا كانت D منطقة بسيطة حدودها تحوي المنحيات C₁، C₂، C₃, C₄، يصبح تمثيل مبرهنة غرين ممكناً.

فيما يلي برهان للنظرية في حالة منطقة بسيطة D، وهي منطقة من النوع I (تلفظ واحد) تكون فيها C₂ وC₄ عبارة عن مستقيمين قائمين. يوجد أيضا برهان مماثل للحالة D منطقة من النوع II (تلفظ اثنان) حيث تكون C₁ وC₃ خطوط مستقيمة. يمكن استخلاص الحالة العامة من هذه الحالة الخاصة بتقريب المجال D باتحاد مؤلف من مجالات بسيطة.

إذا كان ممكن إثبات أن

$\int _{C}L\,dx=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(1)}$

و

$\int _{C}M\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(2)}$

صائبتان، فإنه يكون قد تم برهنة نظرية غرين في الحالة الأولى.

عرف منطة D من النوع I كما هو مبين في الصورة:

$D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}$

حيث g₁ وg₂ هما دالتان متصلتان على الفترة [a, b]. احسب التكامل الثنائي في العلاقة (1):

${\begin{aligned}\iint _{D}{\frac {\partial L}{\partial y}}\,dA&=\int _{a}^{b}\,\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}{\frac {\partial L}{\partial y}}(x,y)\,dy\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\Big \{}L(x,g_{2}(x))-L(x,g_{1}(x)){\Big \}}\,dx\qquad \mathrm {(3)} \end{aligned}}$

الآن قم باحتساب التكامل الخطي في العلاقة (1). C يمكن إعادة صياغتها كاتحاد لأربعة منحنيات: C₁, C₂, C₃, C₄.

مع C₁، استعن بالدوال الوسيطة: x = x, y = g₁(x), a ≤ x ≤ b. على ذلك

$\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,dx$

مع C₃، استخدم الدوال الوسيطة: x = x, y = g₂(x), a ≤ x ≤ b. بالتالي

$\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx$

التكامل على C₃ يصبح سالباً لأنه يخالف الاتجاه الموجب b إلى a، حيث أن C متجهة إيجاباً (عكس عقارب الساعة). على C₂ وC₄ بينما x تبقى ثابتة ما يعني أن

$\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx=\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx=0$

لذلك،

${\begin{aligned}\int _{C}L\,dx&=\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx\\&=-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx+\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,dx\qquad \mathrm {(4)} \end{aligned}}$

بدمج (3) مع (4)، نحصل على العلاقة (1). بحسابات مماثلة يمكن الحصول على العلاقة (2).