عدد مضلعي

في الرياضيات، العدد المضلعي هو عدد من الممكن ترتيبه على شكل مضلع. حيث اكتشف الرياضياتيون في القدم أنه من الممكن تمثيل الأعداد على شكل أشكال هندسية باستخدام حبوب أو حصى، وهذه الأعداد تسمى بالأعداد الشكلية التي قد تكون اشكالا مختلفة الأضلاع أو الأبعاد. ومنها الأعداد المضلعية

على سبيل المثال من الممكن تمثيل العدد 10 بترتيبه على شكل مثلث كالتالي (عدد مثلثي):

رسم بياني يبين عدد الصفات T (مجموع الأشكال المضلعة الثنائية الأبعاد فقط الممكن تشكيلها) للعدد a.

ولكن لا يمكن للعدد 10 ترتيبه على شكل مربع كامل، بل يمكن ترتيب العدد 9 (يسمى مربع عدد) على الشكل التالي:

وهناك بعض الأعداد مثل 36 يمكن ترتيبها بشكل مربع ومثلثي (تسمى أعداد مربعية مثلثية) على الشكل التالي:

يعتبر العدد 0 هو أول الأعداد المضلعية مهما كان عدد الأضلاع. توضح الأشكال التالية كيفية الحصول على أعداد أعلى بتوسيع الأشكال في اتجاه واحد، بالنسبة لـ

• أعداد مثلثية:

1		3		6		10

• أعداد مربعية:

1		4		9		16

لا يمكن إنشاء أكثر من مضلع منتظم كامل باستخدام عدد أولي.

من الممكن إيضاً إنشاء أعداد شكلية بترتيب أعلى على الرغم من أن الشبكة لن تكون منتظمة مثل الأعداد الأولى من الأعداد المسدسة:

1		6		15		28

إذا كان s هو عدد أضلاع المضلع، فتكون الصيغة من أجل العدد ذو الترتيب n لمضلع ذو عدد أضلاع s يعطى بالعلاقة التالية:

${(s-2)n^{2}-(s-4)n} \over 2$.

و يمكن فحص إذا كان العدد شكليا إذا كان x (الذي يساوي الترتيب) في المعادلة التالية صحيحا. حيث s هو عدد أضلاع المضلع و n هو العدد

$x={s+{\sqrt {8ns-16n+s^{2}-8s+16}}-4 \over (2s-4)}$

الاسم	الصيغة	n=1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
مثلثي	½(n² +n)	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	66	78	91
مربعي	n²	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169
مخمسي	½(3n² - 1n)	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	176	210	247
مسدسي	½(4n² - 2n)	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	231	276	325
مسبع	½(5n² - 3n)	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	286	342	403
مثمن	½(6n² - 4n)	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	341	408	481
متسع	½(7n² - 5n)	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325	396	474	559
معشر	½(8n² - 6n)	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	451	540	637
Hendecagonal	½(9n² - 7n)	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415	506	606	715
Dodecagonal	½(10n² - 8n)	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460	561	672	793
Tridecagonal	½(11n² - 9n)	1	13	36	70	115	171	238	316	405	505	616	738	871
Tetradecagonal	½(12n² - 10n)	1	14	39	76	125	186	259	344	441	550	671	804	949
Pentadecagonal	½(13n² - 11n)	1	15	42	82	135	201	280	372	477	595	726	870	1027
Hexadecagonal	½(14n² - 12n)	1	16	45	88	145	216	301	400	513	640	781	936	1105
Heptadecagonal	½(15n² - 13n)	1	17	48	94	155	231	322	428	549	685	836	1002	1183
Octadecagonal	½(16n² - 14n)	1	18	51	100	165	246	343	456	585	730	891	1068	1261
Nonadecagonal	½(17n² - 15n)	1	19	54	106	175	261	364	484	621	775	946	1134	1339
Icosagonal	½(18n² - 16n)	1	20	57	112	185	276	385	512	657	820	1001	1200	1417
Icosihenagonal	½(19n² - 17n)	1	21	60	118	195	291	406	540	693	865	1056	1266	1495
Icosidigonal	½(20n² - 18n)	1	22	63	124	205	306	427	568	729	910	1111	1332	1573
Icositrigonal	½(21n² - 19n)	1	23	66	130	215	321	448	596	765	955	1166	1398	1651
Icositetragonal	½(22n² - 20n)	1	24	69	136	225	336	469	624	801	1000	1221	1464	1729
Icosipentagonal	½(23n² - 21n)	1	25	72	142	235	351	490	652	837	1045	1276	1530	1807
Icosihexagonal	½(24n² - 22n)	1	26	75	148	245	366	511	680	873	1090	1331	1596	1885
Icosiheptagonal	½(25n² - 23n)	1	27	78	154	255	381	532	708	909	1135	1386	1662	1963
Icosioctagonal	½(26n² - 24n)	1	28	81	160	265	396	553	736	945	1180	1441	1728	2041
Icosinonagonal	½(27n² - 25n)	1	29	84	166	275	411	574	764	981	1225	1496	1794	2119
Triacontagonal	½(28n² - 26n)	1	30	87	172	285	426	595	792	1017	1270	1551	1860	2197

مضلعات مركبة

قد يمكن للعدد الواحد ان يشكل مضلعات مختلفة مثلا الأعداد المضلعية المثلثية المربعية أو المخمسية المربعية. 2 هو العدد الصحيح الوحيد الذي لا يمكن ان يكون مضلعا منتظما.

العدد	عدد الأضلاع للمضلع الممكن تشكيله
0	كل الأضلاع
1	كل الأضلاع
2	غير موجود
5	5
15	3, 6, 15
200	200
333	11, 112, 333
625	4, 64, 625
1225	3, 4, 6, 29, 60, 124, 1225
2014	337, 2014
2333	2333
2777	2777
2999	2999
3000	1001, 3000
∞	كل الأضلاع

انظر أيضا

• عدد شكلي
• عدد مثلثي
• مربع كامل
• عدد مخمسي
• عدد مسدسي
• عدد مثلثي مربعي
• مبرهنة العدد المضلعي لفيرما

مراجع

• The دار بنجوين للنشر Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (Penguin Books, 1997) [ISBN 0-14-026149-4].
• الأعداد المضلعة على بلانيت ماث (لغة إنكليزية).
• الأعداد المضلعة على ماثوورلد (لغة إنكليزية).

مواقع خارجية

• Polygonal Numbers: Every polygonal number between 1 and 1000 clickable
• الأعداد المضلعية على شبكة حلزونية. على يوتيوب