دالتان سقفية وأرضية

في الرياضيات و علم الحاسوب، الدالتان السقفية والأرضية^[1] (بالإنجليزية: Ceiling and floor functions)‏ هما دالتان تربطان عدداً حقيقياً ما بأكبر عدد صحيح سابق أو أصغر عدد صحيح تابع على التوالي، حيث:

السقف لعدد حقيقي ما x هو أصغر عدد صحيح ولكن ليس أصغر من x. فسقف العدد 2.15 هو 3، أي أصغر عدد صحيح ليس أصغر من 2.15.
بينما الأرضية فهو أكبر عدد صحيح ليس أكبر من x. فصحيح العدد 2.6 هو 2، أي أكبر عدد صحيح ليس أكبر من 2.6.

الرموز المستعملة

استعمل كارل فريدريش غاوس في عام 1808 رمز المعقوفتين [x] للدلالة على الجزء الصحيح في برهانه الثالث لمبرهنة التربيعية التبادلية. بقي هذا الرمز هو المرجع حتى أدخل كينيث ايفرسون في عام 1962 الكلمتين الإنجليزيتين Floor و Ceiling مع الرمزين الدالين عليهما $\rfloor$ x $\lfloor$ و $\rceil$ x $\lceil$ في كتاب له تحت عنوان لغة البرمجة (A Programming Language).^[2]

أمثلة

قيمة ما ل x	الجزء الصحيح $\lfloor x\rfloor$	السقف $\lceil x\rceil$	الجزء الكسري $\{x\}$
12/5 = 2.4	2	3	2/5 = 0.4
2.7	2	3	0.7
$-2.7$	$-3$	$-2$	0.3
$-2$	$-2$	$-2$	0

تطبيقات

ثابتة أويلر

هناك صيغ رياضياتية تتعلق بثابتة أويلر-ماسكيروني γ = 0.57721 56649 ... تحتوي على دالتي الجزء الصحيح والسقف. على سبيل المثال^[3]

\gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx,

\gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right),

و

\gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\dots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\dots

معضلات حلت

طرح رامانجن المعضلة التالية لجريدة للجمعية الرياضياتية الهندية.^[4]

إذا كان n عددا صحيحا موجبا، أثبت أن:

(i) $\left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor ,$