توزيع غاما المعمم
دالة الكثافة الاحتمالية
دالة التوزيع التراكمي
المؤشرات
a
>
0
{\displaystyle a>0}
d
>
0
,
p
>
0
{\displaystyle d>0,p>0}
الدعم
x
∈
(
0
,
∞
)
{\displaystyle x\;\in \;(0,\,\infty )}
د۔ك۔ح۔
p
/
a
d
Γ
(
d
/
p
)
x
d
−
1
e
−
(
x
/
a
)
p
{\displaystyle {\frac {p/a^{d}}{\Gamma (d/p)}}x^{d-1}e^{-(x/a)^{p}}}
د۔ت۔ت
γ
(
d
/
p
,
(
x
/
a
)
p
)
Γ
(
d
/
p
)
{\displaystyle {\frac {\gamma (d/p,(x/a)^{p})}{\Gamma (d/p)}}}
المتوسط الحسابي
a
Γ
(
(
d
+
1
)
/
p
)
Γ
(
d
/
p
)
{\displaystyle a{\frac {\Gamma ((d+1)/p)}{\Gamma (d/p)}}}
الوسيط الحسابي بلا صيغة مغلقة بسيطة.
المنوال
a
(
d
−
1
p
)
1
p
f
o
r
d
>
1
,
o
t
h
e
r
w
i
s
e
0
{\displaystyle a\left({\frac {d-1}{p}}\right)^{\frac {1}{p}}\mathrm {for} \;d>1,\mathrm {otherwise} \;0}
التباين
a
2
(
Γ
(
(
d
+
2
)
/
p
)
Γ
(
d
/
p
)
−
(
Γ
(
(
d
+
1
)
/
p
)
Γ
(
d
/
p
)
)
2
)
{\displaystyle a^{2}\left({\frac {\Gamma ((d+2)/p)}{\Gamma (d/p)}}-\left({\frac {\Gamma ((d+1)/p)}{\Gamma (d/p)}}\right)^{2}\right)}
التجانف
التفرطح
الاعتلاج
ln
a
Γ
(
d
/
p
)
p
+
d
p
+
(
1
p
−
d
p
)
ψ
(
d
p
)
{\displaystyle \ln {\frac {a\Gamma (d/p)}{p}}+{\frac {d}{p}}+\left({\frac {1}{p}}-{\frac {d}{p}}\right)\psi \left({\frac {d}{p}}\right)}
د۔م۔ع
الدالة المميزة
معلومات فيشر
توزيع غاما المعمم هو توزيع احتمالي مستمر محدد بثلاث معلمات. هذا التوزيع هو في الواقع تعميم لتوزيع غاما لمعلمتين. نظرًا لأن العديد من التوزيعات المستخدمة لتحليل البقاء (مثل التوزيع الأسي ، وتوزيع وایبل ، وتوزيع غاما ، والتوزيع شبه الطبيعي) هي حالات خاصة لتوزيع غاما المعمم ، فإنه يُستخدم أحيانًا لتحديد النموذج المناسب وفقًا لمجموعة البيانات.[ 1]
توزيع غاما المعمم له ثلاث معلمات:
a
>
0
{\displaystyle a>0}
d
>
0
{\displaystyle d>0}
p
>
0
{\displaystyle p>0}
x
{\displaystyle x}
دالة كثافة احتمالية هي:[ 2]
f
(
x
;
a
,
d
,
p
)
=
(
p
/
a
d
)
x
d
−
1
e
−
(
x
/
a
)
p
Γ
(
d
/
p
)
{\displaystyle f(x;a,d,p)={\frac {(p/a^{d})x^{d-1}e^{-(x/a)^{p}}}{\Gamma (d/p)}}}
هنا
Γ
(
⋅
)
{\displaystyle \Gamma (\cdot )}
دالة التوزيع التراكمي تساوي:
F
(
x
;
a
,
d
,
p
)
=
γ
(
d
/
p
,
(
x
/
a
)
p
)
Γ
(
d
/
p
)
{\displaystyle F(x;a,d,p)={\frac {\gamma (d/p,(x/a)^{p})}{\Gamma (d/p)}}}
γ
(
⋅
)
{\displaystyle \gamma (\cdot )}
دالة غاما غير المكتملة.
إذا
d
=
p
{\displaystyle d=p}
وايبول . أيضا إذا
p
=
1
{\displaystyle p=1}
[ 2]
إذا كان
X
{\displaystyle X}
عزم الدوران به:[ 3]
E
(
X
r
)
=
a
r
Γ
(
d
+
r
p
)
Γ
(
d
p
)
{\displaystyle \operatorname {E} (X^{r})=a^{r}{\frac {\Gamma ({\frac {d+r}{p}})}{\Gamma ({\frac {d}{p}})}}}
عدل
إذا
f
1
{\displaystyle f_{1}}
f
2
{\displaystyle f_{2}}
تباعد كولبيك ليبلر مساويًا لـ:[ 4]
D
K
L
(
f
1
∥
f
2
)
=
∫
0
∞
f
1
(
x
;
a
1
,
d
1
,
p
1
)
ln
f
1
(
x
;
a
1
,
d
1
,
p
1
)
f
2
(
x
;
a
2
,
d
2
,
p
2
)
d
x
=
ln
p
1
a
2
d
2
Γ
(
d
2
/
p
2
)
p
2
a
1
d
1
Γ
(
d
1
/
p
1
)
+
[
ψ
(
d
1
/
p
1
)
p
1
+
ln
a
1
]
(
d
1
−
d
2
)
+
Γ
(
(
d
1
+
p
2
)
/
p
1
)
Γ
(
d
1
/
p
1
)
(
a
1
a
2
)
p
2
−
d
1
p
1
{\displaystyle {\begin{aligned}D_{KL}(f_{1}\parallel f_{2})&=\int _{0}^{\infty }f_{1}(x;a_{1},d_{1},p_{1})\,\ln {\frac {f_{1}(x;a_{1},d_{1},p_{1})}{f_{2}(x;a_{2},d_{2},p_{2})}}\,dx\\&=\ln {\frac {p_{1}\,a_{2}^{d_{2}}\,\Gamma \left(d_{2}/p_{2}\right)}{p_{2}\,a_{1}^{d_{1}}\,\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}+\left[{\frac {\psi \left(d_{1}/p_{1}\right)}{p_{1}}}+\ln a_{1}\right](d_{1}-d_{2})+{\frac {\Gamma {\bigl (}(d_{1}+p_{2})/p_{1}{\bigr )}}{\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{p_{2}}-{\frac {d_{1}}{p_{1}}}\end{aligned}}}
ψ
(
⋅
)
{\displaystyle \psi (\cdot )}
[ 4]
^ Box-Steffensmeier, Janet M. ; Jones, Bradford S. (2004) Event History Modeling: A Guide for Social Scientists . Cambridge University Press. (ردمك 0-521-54673-7 ) (pp. 41-43)
^ ا ب Stacy, E.W. (1962). "A Generalization of the Gamma Distribution." Annals of Mathematical Statistics 33(3): 1187-1192. جايستور 2237889
^ Johnson, N.L. ; Kotz, S; Balakrishnan, N. (1994) Continuous Univariate Distributions, Volume 1 , 2nd Edition. Wiley. (ردمك 0-471-58495-9 ) (Section 17.8.7)
^ ا ب C. Bauckhage (2014), Computing the Kullback-Leibler Divergence between two Generalized Gamma Distributions , arxiv:1401.6853 . نسخة محفوظة 30 نوفمبر 2020 على موقع واي باك مشين .
+{\frac {\Gamma {\bigl (}(d_{1}+p_{2})/p_{1}{\bigr )}}{\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{p_{2}}-{\frac {d_{1}}{p_{1}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568287890f02a4650ef601b9da752a394a07b07e)
