في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، توزيع باريتو (بالإنجليزية : Pareto distribution ) توزيع احتمالي مستمر سمي تيمنا باسم الاقتصادي الإيطالي فيلفريدو باريتو .[ 1] [ 2]
توزيع باريتو
دالة الكثافة الاحتمالية دالة الكثافة الاحتمالية لتوزيع باريتو عندما x m =1
دالة التوزيع التراكمي دالة التوزيع التراكمي لتوزيع باريتو عندما x m =1
المؤشرات
x
m
>
0
{\displaystyle x_{\mathrm {m} }>0\,}
حقيقي )
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0\,}
الدعم
x
∈
[
x
m
;
+
∞
)
{\displaystyle x\in [x_{\mathrm {m} };+\infty )\!}
د۔ك۔ح۔
α
x
m
α
x
α
+
1
for
x
≥
x
m
{\displaystyle {\frac {\alpha \,x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}{\text{ for }}x\geq x_{m}\!}
د۔ت۔ت
1
−
(
x
m
x
)
α
{\displaystyle 1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }\!}
المتوسط الحسابي
α
x
m
α
−
1
for
α
>
1
{\displaystyle {\frac {\alpha \,x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}{\text{ for }}\alpha >1\,}
الوسيط الحسابي
x
m
2
α
{\displaystyle x_{\mathrm {m} }{\sqrt[{\alpha }]{2}}}
المنوال
x
m
{\displaystyle x_{\mathrm {m} }\,}
التباين
x
m
2
α
(
α
−
1
)
2
(
α
−
2
)
for
α
>
2
{\displaystyle {\frac {x_{\mathrm {m} }^{2}\alpha }{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}{\text{ for }}\alpha >2\,}
التجانف
2
(
1
+
α
)
α
−
3
α
−
2
α
for
α
>
3
{\displaystyle {\frac {2(1+\alpha )}{\alpha -3}}\,{\sqrt {\frac {\alpha -2}{\alpha }}}{\text{ for }}\alpha >3\,}
التفرطح
6
(
α
3
+
α
2
−
6
α
−
2
)
α
(
α
−
3
)
(
α
−
4
)
for
α
>
4
{\displaystyle {\frac {6(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}-6\alpha -2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}{\text{ for }}\alpha >4\,}
الاعتلاج
ln
(
x
m
α
)
+
1
α
+
1
{\displaystyle \ln \left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha }}\right)+{\frac {1}{\alpha }}+1\!}
د۔م۔ع
α
(
−
x
m
t
)
α
Γ
(
−
α
,
−
x
m
t
)
for
t
<
0
{\displaystyle \alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t){\text{ for }}t<0\,}
الدالة المميزة
α
(
−
i
x
m
t
)
α
Γ
(
−
α
,
−
i
x
m
t
)
{\displaystyle \alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t)\,}
معلومات فيشر
(
α
x
m
2
−
1
x
m
−
1
x
m
1
α
2
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\alpha }{x_{m}^{2}}}&-{\frac {1}{x_{m}}}\\-{\frac {1}{x_{m}}}&{\frac {1}{\alpha ^{2}}}\end{pmatrix}}}
يقال أن لمتغير لعشوائي ما أنه يتبع توزيع باريتو إذا كانت دالة كثافته تعطى بالشكل التالي:
Pr
(
X
>
x
)
=
{
(
x
m
x
)
α
for
x
≥
x
m
,
1
for
x
<
x
m
.
{\displaystyle \Pr(X>x)={\begin{cases}\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&{\text{for }}x\geq x_{\mathrm {m} },\\1&{\text{for }}x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}}
وهي تقيس احتمال أن يكون المتغير العشوائي X أكبر من قيمة معينة x. mx m أقل قيمة يمكن أن يأخذها المتغير العشوائي X وهي بالضرورة قيمة موجبة.
دالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي يتبع توزيع باريتو ذا α وx m تعطى بالشكل التالي:
F
X
(
x
)
=
{
1
−
(
x
m
x
)
α
for
x
≥
x
m
,
0
for
x
<
x
m
.
{\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&{\text{for }}x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&{\text{for }}x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}}
وبما أن x m هي أقل قيمة ممكنة للمتغير العشوائي X. فإن احتمالية أن تكون قيمة المتغير العشوائي أقل x m تساوي صفر كما هو مبين في الرسمة البيانية ودالة التوزيع.
![{\displaystyle x_{\mathrm {m} }{\sqrt[{\alpha }]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef1a9e02a1d60cf9cd611b13188b078509904bc7)
