انعكاس (رياضيات)

  لمعانٍ أخرى، طالع انعكاس (توضيح).

في الرياضيات، الانعكاس (بالإنجليزية: Reflection أو Reflexion)‏ هو دالة تحول شكلا ما إلى صورة مرآته (المعكوسة). فمثلا، انعكاس شكل الحرف "p" بالنسبة لخط عموي (أو مرآة) يصبح الشكل "q". لعكس مسطح ثنائي الأبعاد، يستعمل خط مرآةً ويُسمى محور الانعكاس. بينما يلزم لانعكاس جسم ثلاثي الأبعاد مثل القطة مستوى ثنائي الأبعاد مرآة. ويعتبر الانعكاس في بعض الأحيان حالة خاصة من حالات الانقلاب (inversion).

أن تابع الانعكاس على محورين متوازيين يسمى: "انتقال" (translation). انعكس الشكل البني فنتج الأخضر ثم انعكس الأخضر فأنتج الأزرق. والانتقال هو من البني إلى الأزرق.

أن تتابع الانعكاس على محورين غير متوازيين يسمى: "دوران" (rotation) حول نقطة التقاء المحورين

وبالمفهوم الهندسي، لإيجاد الانعكاس لنقطة ما، يتم إسقاط خط عمودي على الخط (أو المستوى) المستعمل كمحور الانعكاس، ثم مد الخط بشكل مستقيم في الجهة الأخرى من المحور وبنفس المسافة.

ولتحديد الانعكاس لرسم ما، يتم تحديد انعكاسات كل النقاط المؤلفة له على الناحية الأخرى من محور الانعكاس.

ملاحظات

• القيام بانعكاس مرتين على نفس المحور يعود بنا إلى الشكل الأصلي.
• الانعكاس يحافظ على المسافات بين النقاط المعكوسة.
• أن الانعكاس لا يؤثر على النقاط الموجودة على المرآة أو على المحور.
• بعد الانعكاس في المرآة يكون أصغر ببعد واحد من الفضاء المعكوس (مثلاً إذا كانت المرآة موجودة في الفضاء الثلاثي الأبعاد فإن الصورة المعكوسة عليها تكون في الفضاء الثنائي الأبعاد وهكذا).

المعادلات

في حالة متجه a في الفضاء الإقليدي Rⁿ، فإن معادلة الانعكاس في المستوي الفائق من خلال المصدر المتعامد مع a هي:

$\mathrm {Ref} _{a}(v)=v-2{\frac {v\cdot a}{a\cdot a}}a$

بحيث v·a هي نتيجة ضرب متجه v في a ولاحظ ان الطرف الثاني في المعادلة هو ضعف اسقاط v على a ويمكن بسهولة إثبات:

• Ref_a(v) = -v إذا كانت v متوازية مع a و
• Ref_a(v) = v, إذا كانت v متعامدة مع a

وبما أن الانعكاسات هذه هي ايزوميترية في فضاء إقليدي ذات مصدر محدد، فيكن تمثيلها بمصفوفة متعامدة والتي هي:

$R_{ij}=\delta _{ij}-2{\frac {a_{i}a_{j}}{\|a\|^{2}}}$

حيث δ_ij هي دلتا كرونكر. والمعادلة لانعكاس في فضاء أفيني $v\cdot a=c$ هي:

$\mathrm {Ref} _{a,c}(v)=v-2{\frac {v\cdot a-c}{a\cdot a}}a.$

انظر أيضاً

• انعكاس (فيزياء)
• مرشح التداخل
• نقل (هندسة رياضية)
• انعكاس انزلاقي
• مجموعة افريزية (هندسة)

وصلات خارجية

• الأنعكاس بالنسبة لخط على موقع cut-the-knot
• شرح الأنعكاس الثنائي الأبعاد
• شرح الأنعكاس الثلاثي الأبعاد
• إيريك ويستاين، انعكاس، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).