معادلة رياضية

  ميّز عن دالة (رياضيات).

المعادلة الرياضية في الرياضيات، هي عبارة مؤلفة من رموز رياضية، تنص على مساواة تعبيرين رياضيين. ويعبر عن هذه المساواة عن طريق علامة التساوي (=) كما يلي:

أول استعمال لعلامة التساوي, مكافئا ل 14x + 15 = 71 في الترميز العصري. ينسب هذا الاستعمال إلى روبرت غيكوغد (1557).

$x+3=5\,$

تسمى المعادلة التي تأخذ الشكل ax + b = 0 حيث: a و b عددان حقيقيان معلومان، معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد. في هذه المعادلة x هو المجهول الذي ينبغي إيجاده أثناء حل المعادلة.

المتغيرات المعروفة والمتغيرات غير المعروفة

طالع أيضًا: عبارة (رياضيات)

تستعمل هذه التعابير عادة في التعبير عن مساواة تعبيرين يحويان متغيرات جبرية، مثلا يمكن كتابة المعادلة التالية :

x − x = 0

في هذه الحالة مهما كانت القيمة المعطاة للمتغير x فإن المساواة صحيحة والمعادلة محققة. يدعى هذا النوع من المعادلات مطابقة رياضية، أي معادلة صحيحة منطقيا بغض النظر عن قيمة المتغير. لكن بالمقابل العديد من المعادلات لا يشكل مطابقة مثل المعادلة التالية:

$x+1=2$

فهي غير صحيحة لمعظم القيم التي يمكن أن تعطى ل x، لكنها تكون صحيحة فقط في حالة قيمة معينة : x = 1، تدعى هذه القيمة جذر المعادلة.

بشكل عام، تسمى القيم التي تحقق معادلة ما حلول المعادلة، وتسمى عملية إيجاد الحلول حل المعادلة.

أنواع المعادلات

ترتب المعادلات حسب العمليات وحسب الأعداد المستعملة فيها. أهم الأنواع يأتي فيما يلي:

• المعادلات الحدودية هي معادلة حيث تساوي متعددة حدود ما، متعددة حدود ثانية.
• المعادلات الجبريةهي مساواة بين مقدارين جبريين يحوي أحدهما أو كلاهما متغيرا أو أكثر .
• المعادلات الخطية هي معادلة جبرية من الدرجة الأولى.
• المعادلات المتسامية

هي معادلة تحتوي على دالة متسامية (دالة مثلثية أو أسية أو معكوساتهما)

• المعادلات التفاضلية هي معادلات تربط دالة ما بمشتقاتها.
• المعادلات الديوفانتية.هي معادلة حدودية في متغيرات متعددة تكون حلولها أعدادا صحيحة أو يبرهن على استحالة ذلك.
• المعادلات الدالية هي معادلات حيث المجهول أو المجاهيل هي دوال بدلا من أن تكون مجرد متغيرات.
• المعادلات التكاملية في علم الرياضيات هي معادلة حيث يظهر فيها دالة غير مُعرفة بجوار إشارة التكامل.

متطابقات

تستعمل المعادلات في التعبير عن المتطابقات الرياضية وهي عبارات مستقلة عن القيم التي تأخذها المتغيرات الموجودة في المتطابقة. على سبيل المثال، بالنسبة لعدد ما x، المعادلة التالية صحيحة مهما كانت قيمة x:

$x(x-1)=x^{2}-x\,.$

خصائص

تتحقق الخصائص التالية على أي معادلة محققة، وذلك من أجل الحصول على معادلة جديدة:

• من الممكن إضافة أي رقم إلى طرفي المعادلة.
• من الممكن طرح أي رقم من طرفي المعادلة.
• من الممكن ضرب طرفي المعادلة بأي رقم.
• من الممكن قسمة طرفي المعادلة على أي رقم بشرط ألا يساوي هذا الرقم الصفر.
• بشكل عام من الممكن تطبيق أي دالة على طرفي المعادلة.

مثال

أوجد العدد الحقيقي x بحيث: $2x-7=8-3x\,.$

تسمى معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد.

2x-7=8-3x (بإضافة 3x إلى طرفي المعادلة، وكذلك إضافة 7 إلى طرفيها)

5x=15 (بقسمة طرفي المعادلة على 5 )

x=15/5

x=3

أي أن حل هذه المعادلة هو العدد الحقيقي 3.

قواعد أساسية

لكل الأعداد الحقيقية c و b و a والتي لا يساوي أي منها الصفر

a+c = b+c إذا وفقط إذا كان a = b

a = c - b إذا وفقط إذا كان a+b = c

ac=bc إذا وفقط إذا كان a = b

انظر أيضاً

• معادلة من الدرجة الأولى
• معادلة خطية
• معادلة تكعيبية
• معادلة تفاضلية
• متعدد الحدود
• معادلة ديوفانتية
• المتراجحات
• معادلة تربيعية
• نظرية المعادلات
• المعادلات الخماسية
• معادلات الدرجة الرابعة
• المعادلات الوسيطية
• اللامعادلة