هرم باسكال

في الرياضيات، هرم باسكال (بالإنجليزية: Pascal's pyramid)‏ هو ترتيب ثلاثي الأبعاد للأعداد الثلاثية وهي معاملات المبرهنة الثلاثية و التوزيع ثلاثي الحدود. هرم باسكال هو نظير ثلاثي الأبعاد لمثلث باسكال ثنائي الأبعاد، والذي يحتوي على الأعداد الثنائية و يرتبط بالمبرهنة الثنائية والتوزيع ثنائي الحدين.

سمي هذا الهرم هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الفرنسي بليز باسكال.

المعاملات الثلاثية

تقديمها وأهميتها

المعاملات الثلاثية تكتب على الشكل ${n \choose i,j,k}$ حيث $(i,j,k)$ مثلوث أعداد صحيحة طبيعية (موجبة) و $n=i+j+k$. و هي معرفة بالصيغة ${n \choose i,j,k}={\frac {n!}{i!j!k!}}$ و نجدها في الحالات التالية:

• في الجبر.
• في التعداد.
• في الإحصاء.

العلاقة بين المعاملات الثلاثية وهرم باسكال

${n \choose i,j,k}={n-1 \choose i-1,j,k}+{n-1 \choose i,j-1,k}+{n-1 \choose i,j,k-1}$، و هو صحيح لكل مثلوث $(i,j,k)$ من الأعداد الصحيحة الطبيعية حيث $n=i+j+k$. تظل هذه القاعدة صحيحة في الحالاتi ، j أو k يساوي 0، بشرط أن يكون :${n' \choose i',j',k'}=0$ إذا كان $i'\leq -1$ أو $j'\leq -1$ أو $k'\leq -1$ و $n'=i'+j'+k'\geq 0$.

البرهان

${n-1 \choose i-1,j,k}+{n-1 \choose i,j-1,k}+{n-1 \choose i,j,k-1}={\frac {(n-1)!}{(i-1)!j!k!}}+{\frac {(n-1)!}{i!(j-1)!k!}}+{\frac {(n-1)!}{i!j!(k-1)!}}$

لهذه الغاية نعمل بالقيمة !(n-1)، ثم نوحد مقامات الحدود الثلاثة بملاحظة أن ${\frac {1}{(i-1)!}}={\frac {i}{i!}}$، وبالتالي فإن المقام المشترك هو $i!j!k!$

وهكذا : ${n-1 \choose i-1,j,k}+{n-1 \choose i,j-1,k}+{n-1 \choose i,j,k-1}={\frac {(n-1)!}{i!j!k!}}\left(i+j+k\right)$

و الحال أن $n=i+j+k$ و $(n-1)!n=n!$ و بالتالي :${n-1 \choose i-1,j,k}+{n-1 \choose i,j-1,k}+{n-1 \choose i,j,k-1}={\frac {n!}{i!j!k!}}={n \choose i,j,k}$

انظر أيضا

• ثلاثي حد نيوتن
• مثلث باسكال

وصلات خارجية

• (بالإنجليزية) Beyond Flatland: Geometry for the 21st Century. PART I: Pascal's Tetrahedron
• (بالإنجليزية) Pascal's Simplices exposés sur le triangle de Pascal, la pyramide de Pascal, et davantage.