معادلة تفاضلية خطية

في الرياضيات، المعادلة التفاضلية الخطية من الرتبة n هي معادلة من الشكل العام

$f_{n}(x)y^{(n)}+f_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots +p_{1}(x)y^{\prime }+f_{0}(x)y=G(x)\qquad$

حيث $f_{i}(x)\!$ و ${G(x)}\!$ هي توابع (أو دالات) معلومة وحيث $p_{n}(x)\neq 0$، و$y(x)\!$ هو تابع مجهول وإيجاد هذا التابع هو بمثابة حل لهذه المعادلة حيث هنا يكمن محور بحث نظرية المعادلات التفاضلية بشكل عام.

وعندما تكون $G(x)=0\!$ تسمى المعادلة حينئذٍ بالمتجانسة Homogeneous حيث إيجاد حل المعادلة المتجانسة هو خطوة أولى نحو الحل العام للمعادلة اللامتجانسة (مفصل في الأسفل).

عندما تكون المعاملات $p_{i}(x)\!$ مجرد أعداد نقول أن المعادلة هي ذات معاملات ثابتة.

مؤثر تفاضلي خطي

ممكن كتابة المعادلة بواسطة المؤثر: $\ L={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}+p_{n-1}{\frac {d^{n-1}}{dx^{n-1}}}+\dots +p_{0}$ بحيث ان:

$\ L[y]=({\frac {d^{n}}{dx^{n}}}+p_{n-1}{\frac {d^{n-1}}{dx^{n-1}}}+\dots +p_{0})y$

وبالتالي يمكن كتابة المعادلة بالصورة الاتية: $\ L\left[y\right]=q(x)$. المعادلة تسمى «خطية» لان المؤثر هو خطي: $\ L\left[\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}\right]=\lambda _{1}L\left[y_{1}\right]+\lambda _{2}L\left[y_{2}\right]$.

لان هذا المؤثر التفاضلي يعبّر عن مشتقات، وصفاته الخطية تنبع من قواعد الاشتقاق. من هنا نتسنتج انه إذا كان $v(x)$ و $u(x)$ حلول للمعادلة التفاضلية المعطاة، فان $v(x)+u(x)$ هو أيضا حل، وأيضا $c_{1}v(x)+c_{2}u(x)$ أيضا حل (بحيث ان $c_{1},c_{2}$ هي ثوابت اختيارية. كما ذكرنا إذا كان $\ q(x)\equiv 0$ المعادلة تسمى متجانسة'.

حل المعادلة التفاضلية

فيما يخص المعادلة التفاضلية المتجانسة مجموعة الحلول تشكّل فضاء متجهي، نبحث عن قاعدة من هذه الحلول.أي مجموعة دوال $\ y_{1},\dots ,y_{n}$ يمكن كتابة كل حل للمعادلة بصورة خطية بواسطة الحلول : $\ y=c_{1}y_{1}+\dots +c_{n}y_{n}$. بحيث $\ c_{1},\dots ,c_{n}$ ثوابت اختيارية، «حل عام للمعادلة المتجانسة».

إذا يكفي ان نبحث عن الحلول $\ y_{1},\dots ,y_{n}$ لنجد الحل العام.

لمعادلة خطية غير متجانسة $\ L\left[y\right]=q(x)$ الميّزة ان الفرق بين حلّين يعطينا حل للمعادلة المتجانسة $\ L\left[y\right]=0$. أي أن، إذا $\ L\left[y_{1}\right]=L\left[y_{2}\right]=q(x)$ إذا ينتج $\ L\left[y_{1}-y_{2}\right]=L\left[y_{1}\right]-L\left[y_{2}\right]=q(x)-q(x)=0$. ومن هنا نتنج صفة مهمة لمعادلة خطية غير متجانسة:

إذا إذا كان $\ y$ حل عام للمعادلة الغير متجانسة، و $\ y_{p}$ هو حل خاص لها، إذا $\ y-y_{p}$, مثلما اوضحنا، هو حل للمعادلة المتجانسة.

وبنصّ آخر، باختصار الحل العام للمعادلة الغير متجانسة عبارة عن :$\ y=y_{p}+y_{H}$

$\ y_{p}$ حل خاص للغير متجانسة

$\ y_{H}$ حل عام للمتجانسة

حل المعادلة التفاضلية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة

هذه المعادلة هي من الشكل $p_{n}y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +p_{1}y^{\prime }+p_{0}y=0$

وتحل باستخدام الوسيط $y=e^{\lambda }\!$

فنحصل على معادلة جبرية من الشكل ${p_{n}\lambda ^{n}+p_{n-1}\lambda ^{n-1}+\cdots +p_{1}\lambda +p_{0}=0}$ لها عدد n من الحلول $\lambda =s_{0},s_{1},\dots ,s_{n-1}$

يقابلها نفس العدد من الحلول للمعادلة التفاضلية

$y_{i}(x)=e^{s_{i}x}$

من الممكن برهنة أن هذه الحلول مستقلة خطياً. فيكون الحل العام للمعادلة التفاضلية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة من الشكل $y_{H}(x)=C_{0}(x)y_{0}(x)+C_{1}(x)y_{1}+\cdots +C_{n-1}(x)y_{n-1}$

حيث$C_{i}(x)\!$ قد تكون أعدادا أو دالات.

حل المعادلة التفاضلية اللامتجانسة ذات المعاملات الثابتة

$p_{n}y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +p_{1}y^{\prime }+p_{0}y=q(x)\!$

تمثيلات أخرى

أحياناً قد يمثل الشكل العام للمعادلة بطريقة أخرى حيث نستبدل المعامل التفاضلي من الرتبة $i$ بالرمز $D^{i}$ أي

$y^{(i)}={\frac {d^{i}y}{dx^{i}}}=D^{i}y\!$

وتصبح المعادلة كالتالي

$(p_{n}(x)D^{n}+p_{n-1}(x)D^{n-1}+\cdots +p_{1}(x)D+p_{0}(x))y=q(x)$

أو $\sum _{i=0}^{n}p_{i}(x)D^{i}y=q(x)\!$