مصفوفة ياكوبية

مصفوفة ياكوبية (بالإنجليزية: Jacobian matrix)‏ هي مصفوفة تعبر عن مشتق متجه من الدالات ولها أهمية كبيرة في الرياضيات والهندسة خاصة في إخطاط الأنظمة اللاخطية ودراستها وفي الرياضيات العددية.^[1]^[2]

المحددة الياكوبية (والتي تسمى على سبيل التبسيط بالياكوبية) هي محدد المصفوفة الياكوبية.

سُميت هذه المفاهيم هكذا نسبة لعالم الرياضيات كارل غوستاف ياكوب ياكوبي.

أمثلة

لتكن الدالة $f : ℝ 2 \to ℝ 2$ المعرفة كما يلي

\mathbf {f} (x,y)={\begin{bmatrix}x^{2}y\\5x+\sin y\end{bmatrix}}.

إذن

f_{1}(x,y)=x^{2}y

و

f_{2}(x,y)=5x+\sin y

والمصفوفة الياكوبية ل $F$ هي

\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos y\end{bmatrix}}

أما المحددة الجاكوبية فهي

\det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y))=2xy\cos y-5x^{2}.

التحويل من نظام إحداثي قطبي $(r, φ)$ إلى نظام إحداثي ديكارتي (x, y), توفره الدالة التالية $F : ℝ + \times [0, 2 π) \to ℝ 2$ حيث:

{\begin{aligned}x&=r\cos \varphi ;\\y&=r\sin \varphi .\end{aligned}}

\mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}

المحددة الياكوبية تساوي $r$ . هذا التساوي يستعمل من أجل تحويل التكاملات من نظام إحداثيات إلى آخر:

\iint _{\mathbf {F} (A)}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{A}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\,r\,dr\,d\varphi .

^ Arrowsmith، D. K.؛ Place، C. M. (1992). "The Linearization Theorem". Dynamical Systems: Differential Equations, Maps, and Chaotic Behaviour. London: Chapman & Hall. ص. 77–81. ISBN:0-412-39080-9.
^ Mathworld نسخة محفوظة 03 نوفمبر 2017 على موقع واي باك مشين.

هذه بذرة مقالة عن الرياضيات او موضوع متعلق بها بحاجة للتوسيع. فضلًا شارك في تحريرها.