مستخدم:Mr.Wahrani/محيط (هندسة رياضية)

يقدر محيط هذا المربع بـ 8.

وفقًا لهوميروس، يقدر محيط طروادة 10 200 خطوة (صورة لأسوار طروادة المفترضة).

محيط شكل مستوي هو الطول المقدر لأطراف هذا الشكل. يسمح حساب المحيط، على سبيل المثال، بتحديد مقدار السياج اللازم لتطويق الحقل.

بالنسبة لأي مضلع ، فإن المحيط يساوي مجموع أطوال أضلاعه. هناك صيغ بسيطة لحساب محيط الأشكال الأساسية، لكن المسألة تصبح أكثر صعوبة بالنسبة للأشكال الأكثر تعقيدًا : حيث يلجأ لحساب تكاملات أو نهايات . في هذه الحالة، تستعمل طريقة تقريبية تعوض الشكل المعقد آخر أبسط وأكثر شهرة، للحصول على تقريب للمحيط المطلوب.

طرحت مسألة البحث عن المساحة القصوى لسطح يعرف طول محيطه (أو قياس تساوي القياس ) ، في وقت مبكر جدًا ولم يتم وضع إجابة لها إلا في القرن 19.

الأشكال البسيطة

المضلعات

مستطيل عرضه أ وطوله ب .

تعتبر المضلعات حالة أساسية، ليس فقط لبساطتها، ولكن أيضًا لأن العديد من أشكال المحيطات تُحسب، بقيمة تقريبية، من خلال سلسلة من المضلعات تقترب من هذه المنحنيات. كان أرخميدس أول عالم رياضيات معروف أنه استخدم هذا المنطق، والذي اقترب في تقدير محيط الدائرة بإحاطتها بمضلعات منتظمة .

محيط المضلع يساوي مجموع أطوال أضلاعه.

على وجه الخصوص ، مستطيل الأبعاد أ و ب له محيط 2(أ + ب) . مضلع متساوي الأضلاع هو مضلع كل أضلاعه بنفس الطول ( المعين هو مضلع متساوي الأضلاع بأربعة جوانب). لحساب محيط مضلع متساوي الأضلاع ، نضرب هذا الطول في عدد الأضلاع.

غالبًا ما يعرف المضلع المنتظم بعدد أضلاعه ونصف قطره، أي المسافة الثابتة التي تفصل مركزه عن كل رأس من الرؤوس. من الممكن حساب طول الضلع عن طريق منطق حساب المثلثات . إذا كان R هو نصف قطر مضلع منتظم و n عدد أضلاعه ، فإن محيطه يكون  :

$2nR\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)$ .

يلخص هذه الطرق في الجدول أدناه.

محيط الدائرة

إذا كان قطر الدائرة 1 ، فإن محيطها هو π.

محيط الدائرة هو الطول الذي يحدده حافتها. ويتناسب مع قطرها . باستعمال الثابت π، فإن أي دائرة قطرها D و يحسب محيطها P وفق :

P = πD .

استخدام الفرجار ساهم في تفضيل استخدام نصف قطر الدائرة R بدلاً من قطرها ، لتصبح الصيغة :

P = 2πR .

هاتان الصيغتان متساويتان تمامًا ، لأن D = 2 R لأي دائرة.

يكفي لحساب محيط الدائرة معرفة نصف قطرها أو قطرها والرقم π . تكمن المشكلة في أن هذا الرقم ليس كسريا (لا يمكن كتابته كحاصل قسمة عددين صحيحين) ولا حتى جبريًا (لإنه ليس جذر كثير الحدود مع معاملات صحيحة). وبالتالي، فإن الحصول على قيمة تقريبية لـ π بالدقة المطلوبة ليس بالأمر السهل. الأمر الذي حشد المعرفة في التحليل والخوارزميات وعلوم الكمبيوتر .

تصور المحيط

كلما زاد القص، كلما قلت المساحة وزاد المحيط.

لقلعة Neuf-Brisach محيط معقد. للالتفاف حولها، من الأفضل اتباع غلافها المحدب.

يُعد المحيط، جنبًا إلى جنب مع المساحة، أحد القياسين الرئيسيين للأشكال الهندسية. ومن الشائع الخلط بين هذين المفهومين أو الاعتقاد بأنه كلما كان أحدهما أكبر، زاد الآخر أيضًا. في الواقع ، يؤدي تكبير (أو تصغير) الشكل الهندسي إلى زيادة (أو نقصان) مساحته ومحيطه في نفس الوقت. على سبيل المثال، إذا صورت الأرض في خريطة بمقياس 1: 10 000 ، فيمكن حساب المحيط الفعلي للأرض بضرب محيط الصورة في 10 000 والمساحة بضرب محيط الصورة في 10 000 ² . ومع ذلك، لا يوجد رابط مباشر بين المساحة ومحيط شكل ما. على سبيل المثال، يمكن أن يكون لمستطيل، تبلغ مساحته مترًا مربعًا، عدة أبعاد ممكنة. مثلا : 0.5م و 2م (وبالتالي فالمحيط يساوي 5م) أو 0.001م و 1000م (وبالتالي فالمحيط يزيد عن 2000م). ذكر بروكلوس (في القرن الخامس) واقعة تقاسم فلاحين يونانيين « بتساوي » حقولا بناءا على محيطها ولكن بمساحات مختلفة , . رغم أن، إنتاج الحقل يتناسب مع مساحة وليس محيطه : فحصل بعض الفلاحين السذج على حقول بمحيط طويل، ولكن بمساحة (وبالتالي حصاد) متواضعة.

عندما يزال جزء من الشكل، فإن مساحته تقل (فقد « أزلنا » جزءا من المساحة). لكن الأمر قد يختلف مع المحيط. في حالة شكل « بانقطاعات كثيرة »، يضاف إلى الخلط الواقع بين "المساحة و المحيط"، ارتباك حول غلاف الشكل المحدب بدلاً من دوره بالمعنى الدقيق للكلمة. فالغلاف المحدب للشكل يشبه الشريط المطاطي الذي يحيط بالشكل. في الرسم المتحرك على اليسار، كل الأشكال لها نفس الغلاف المحدب : الشكل السداسي الكبير الأولي.

متباينة المساحات متساوية المحيط

الفقاعات الدهنية على سطح المرق.

يهتم تخصص "دراسة تباين المساحات وتساوي المحيط" (Isoperimetric inequality)، على وجه الخصوص، بمسألة إيجاد أكبر سطح ممكن لنفس المحيط. الجواب بديهي ، إنه القرص . وهذا ما يفسر، على وجه الخصوص، لماذا يكون للفقاعات الدهنية على سطح المرق شكل دائري.

هذه المسألة، التي قد تبدو بسيطة، تستلزم نظريات معقدة للحصول على إثبات صارم. يتم أحيانًا تبسيط مشكلة القياس المتساوي عن طريق الحد من الأسطح المسموح بها. على سبيل المثال، نحن نبحث عن الرباعي أو المثلث ذي أكبر مساحة ممكنة، دائمًا لمحيط معين. الحل هو مربع ومثلث متساويا الأضلاع . بشكل عام، تكون مساحة لمضلع (بعدد من الرؤوس) هي الأكبر بمحيط معين، إذا كان شكله الأقرب إلى الدائرة ، وهو المضلع المنتظم .

في "دراسة تباين المساحات وتساوي المحيط" يجري البحث أيضًا عن أكبر مساحة ممكنة لمحيط معين، بهندسات مختلفة. على سبيل المثال ، في حالة نصف المستوى ، تكون الإجابة هي نصف القرص.

أدى هذا المفهوم إلى ظهور عائلة من النظريات، تسمى isoperimetric ، بتسقيفات (حدود عليا) وكذلك نسبة تسمى حاصل isoperimetric . تنص المتباينة على أن السطح الذي طول محيطه p ومساحته a يفي بالسقف التالي :

${\frac {4\pi a}{p^{2}}}\leq 1$

المصطلح الموجود على اليسار يسمى حاصل المتباينة، وهو يساوي 1 إذا وفقط إذا كان السطح عبارة عن قرص.

إذا كان أصل هذا السؤال يعود إلى ما لا يقل عن 2 900 عام ، فإن جوابه لم يكن حتى عام 1895، باستخدام أساليب مشتقة من نظرية مينكوفسكي بحل نهائيًا في شكل السؤال القديم. هذه الأساليب تجعل من الممكن إثبات متباينة المحيط الثابت وتعميمها على أبعاد أكبر من الهندسة الإقليدية .

المنحنى القابل للتصحيح

عدا حالات المضلعات والدوائر، فإنه يصعب حساب محيط معظم الأسطح : يستعمل التكامل ولكن لدوال غير بسطية مثل الدوال الأولية (كثيرات الحدود ، الجيب ، إلخ. ).

مثال : القطع الناقص

قطع ناقص (إهليلج)

قد يبدو القطع الناقص بسيطًا : فما هو إلا " دائرة مضغوطة ".

بالنسبة لقطع ناقص بمحور أكبر a ومحور أصغر b .

من السهل حساب المساحة  : $\pi ab$ .

ولكن لا يمكن حساب المحيط P للقطع الناقص إلا باستخدام تكامل بيضاوي  :

$P=4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}t+b^{2}\sin ^{2}t}}\,{\text{d}}t$

والتي تصاغ كسلسلة ، مع الإشارة إلى e الانحراف المركزي للقطع الناقص (صيغة JH Lambert (1772)) :

$P=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}e^{2}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{e^{4} \over 3}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{e^{6} \over 5}-\cdots }\right]$ أو $e={\frac {c}{a}}={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}.$

أدت صعوبة هذه العبارات إلى تطوير حسابات تقريبية. الاقتراح الثاني، والأكثر دقة ، هو عمل رامانوجان  :

$P\approx \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})}}\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]$

بيليوغرافيا

الكتب

• Neugebauer، Otto (1992). Les sciences exactes dans l'Antiquité. Actes Sud. ISBN:978-2-86869-300-6..
• Mandelbrot، Benoît (1995). Les objets fractals, 4e édition. Flammarion. ص. 212. ISBN:978-2-08-081301-5..
• Poincaré، Henri (1908). Science et méthode. Flammarion..
• Amiot، A. (1870). Éléments de géométrie : rédigés d'après le nouveau programme de l'enseignement scientifique des lycées ; suivis d'un Complément à l'usage des élèves de mathématiques spéciales. Paris: C. Delagrave et Cie. ص. 428..
• Anne Chevalier, Collectif, Ginette Cuisinier, Danielle Degen, Christine Docq, Mariza Krysinska, Christiane Hauchart (2002). Référentiel de mathématiques. De Boeck Education. ص. 448. ISBN:978-2-8041-4052-6. Référentiel.{{استشهاد بكتاب}}: صيانة الاستشهاد: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين (link).
• Lennart Berggren, Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein (2004). Pi, a source book (بالإنجليزية). New York: Springer. p. 797. ISBN:0-387-20571-3. Pibook.{{استشهاد بكتاب}}: صيانة الاستشهاد: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين (link).
• (en) Eleanor Robson, Mathematics in Ancient Iraq: A Social History, Princeton University Press, 2008, 442 p. (ISBN 9780691091822).

المقالات

• "Aire et Périmètre" (PDF). confusion..

المراجع

[[تصنيف:هندسة كلاسيكية]] [[تصنيف:مسافة]]