مستخدم:Hezzam A/ملعب

مخطط فن مبينا تقاطع مجموعتين.

نظرية المجموعة (الجمع: نظرية المجموعات) (بالإنجليزية: Set theory)‏ هو فرع من علم المنطق الرياضي، تهتم بدراسة المجموعات والتي هي تجميع لكائنات رياضية مجردة والعمليات المطبقة عليها، وتشكل إحدى أهم ركائز الرياضيات الحديثة.

كانت بداية الاهتمام بهذا العلم والعمل على دراسته بالقرن التاسع عشر عندما بداه جورج كانتور وريتشارد ديدكايند. وعلى اثر اكتشاف تناقضات عديدة في نظرية المجموعات الأساسية اقتُرحت العديد من الانظمة البديهية لتجاوز هذه التناقضات ومن هذه كان نظام زيرملو-فرانكلن مع بديهية الاختيار افضلها على الإطلاق.

تعاريف اساسية

علاقة التابعية

أحد أهم المصطلحات الاساسية في نظرية المجموعة هو التابعية، نقول أن الشيء $o$ تابع للمجموعة $A$ ونرمز لذلك ب-$o\in A$ اذا كان أحد اعضاء المجموعة $A$. وهذا المصطلح هو علاقة ثنائية وقد تكون بين المجموعات كذلك.

علاقة الجزئية

علاقة ثنائية اخرى بين المجموعات هي علاقة المجموعة الجزئية وهي مشتقة من علاقة التابعية: نقول أن $A$ هي مجموعة جزئية للمجموعة $B$ اذا كل عضو $a\in A$ تابع أيضا للمجموعة $B$ اي: $a\in B$. نرمز لهذه العلاقة بالشكل التالي: $A\subseteq B$ ونقول أيضا:A ضمن B. اذا تحقق أيضا أنَّ $A\neq B$ حينها نقول ان المجموعة A مجموعة جزئية فعلية للمجموعة B. ونرمز لذلك بالشكل التالي: $A\varsubsetneq B$.و نقول أيضا:A ضمن B قطعا.

علاقة الاتحاد

دائرة واحدة ترمز للمجموعة A ودائرة ثانية ترمز للمجموعة B والمساحة الحمراء ترمز إلى اتحاد المجموعتين $A\cup B$.

عملية اتحاد مجموعتين A وB يرمز لها بـ $A\cup B$ ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر التي تنتمي لأي واحدة من المجموعتين A أو B. أي أن عنصر x ينتمي إلى $A\cup B$ إذا وفقط إذا x ينتمي إلى A أو x ينتمي إلى B

بالرموز: $x\in A\cup B\Leftrightarrow x\in A\lor x\in B$

• مثال لاتحاد مجموعتين منتهيتين: $A=\{1,2,3,4\},B=\{3,4,5,6\}\Rightarrow A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}$
• مثال لاتحاد مجموعة منتهية ومجموعة غير منتهية: $A=\mathbb {N} ,B=\{-3,-7,5\}\Rightarrow A\cup B=\{-3,-7,0,1,2,3,...\}$
• مثال لاتحاد مجموعتين غير منتهيتين: $A=\mathbb {N} ,B=\{0,-1,-2,-3,...\}\Rightarrow A\cup B=\mathbb {Z}$
• مثال مع المجموعة الخالية: $A=\{x,y\},B=\emptyset \Rightarrow A\cup B=\{x,y\}$

علاقة التقاطع

دائرة واحدة ترمز للمجموعة A ودائرة ثانية ترمز للمجموعة B والمساحة الحمراء ترمز إلى تقاطع المجموعتين $A\cap B$.

عملية تقاطع مجموعتين A وB يرمز لها بـ $A\cap B$ ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر المشتركة بين A وB. أي أن عنصر x ينتمي إلى $A\cap B$ إذا وفقط إذا x ينتمي إلى A وأيضاً x ينتمي إلى B.

بالرموز: $x\in A\cap B\Leftrightarrow x\in A\land x\in B$

• مثال لتقاطع مجموعتين منتهيتين: $A=\{1,2,3,4\},B=\{3,4,5,6\}\Rightarrow A\cap B=\{3,4\}$
• مثال لتقاطع مجموع منتهية ومجموعة غير منتهية: $A=\mathbb {N} ,B=\{-3,1,17\}\Rightarrow A\cap B=\{1,17\}$
• مثال لتقاطع مجموعتين غير منتهيتين: $A=\mathbb {Z} ,B=\mathbb {N} \Rightarrow A\cap B=\mathbb {N}$
• مثال مع المجموعة الخالية: $A=\{x,y\},B=\emptyset \Rightarrow A\cap B=\emptyset$

مثال لمجموعة متممة: إذا كانت س

علاقة الفرق

عملية الفرق بين مجموعتين A وB يرمز لها بـ $(A-B)$ ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر التي تنتمي إلى A و لا تنتمي إلى B. أي أن عنصر x ينتمي إلى $(A-B)$ إذا وفقط إذا x ينتمي إلى A وأيضاً x لا ينتمي إلى B

بالرموز: $x\in (A-B)\Leftrightarrow x\in A\land x\notin B$

أمثلة:

• $A=\{1,2,3,4,5,6\},B=\{3,5\}\Rightarrow (A-B)=\{1,2,4,6\}$
• الأعداد الفردية == $\Rightarrow (A-B)$ الأعداد الزوجية = B، الأعداد الطبيعية == A
• $A=\mathbb {N} ,B=\{-7,0,1\}\Rightarrow (A-B)=\{2,3,4,...\}$
• $A=\{-1,-2\},B=\mathbb {N} \Rightarrow (A-B)=\{-1,-2\}$
• $A=\{x,y\},B=\emptyset \Rightarrow (A-B)=\{x,y\}$

دائرة واحدة ترمز للمجموعة A ودائرة ثانية ترمز للمجموعة B والمساحة الحمراء ترمز إلى الفرق المتماثل بين المجموعتين $A\Delta B$.

علاقة الفرق المتماثل

عملية الفرق المتماثل بين مجموعتين A وB يرمز لها بـ $A\Delta B$ ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر التي تنتمي إلى مجموعة واحدة فقط. أي أن عنصر x ينتمي إلى $A\Delta B$ إذا وفقط إذا(x ينتمي إلى A وأيضاً x لا ينتمي إلى B) أو (x ينتمي إلى B وأيضاً x لا ينتمي إلى A)

بالرموز: $x\in A\Delta B\Leftrightarrow (x\in A\land x\notin B)\lor (x\in B\land x\notin A)$

المجموعة كما يدل اسمها تجمع عدة عناصر أو قد تكون فارغة. وقد تكون منتهية أي أن عدد عناصرها عدد صحيح طبيعي معلوم أو تكون غير منتهية. أو هي مجموعة الأشياء المعرفة جيدا لها صفة مميزة مشتركة بينها.

جداء ديكارتي

الجداء الديكارتي للمجموعتين A و- B , نرمز له كالتالي: $A\times B$ هي المجموعة كل الازواج المرتبة $(a,b)$ بحيث أنَّ: $a\in A$ و$b\in B$.

مثلا الجداء الديكارتي بين المجموعة $\{1,2\}$ و- $\{{\mbox{red}},{\mbox{white}}\}$ هو: $\{1,2\}\times \{{\mbox{red}},{\mbox{white}}\}\ =\ \{(1,{\mbox{red}}),(2,{\mbox{red}}),(1,{\mbox{white}}),(2,{\mbox{white}})\}$

قوانين اساسية من جبر المجموعات

تجتمع عمليتا الاتحاد و التقاطع على المجموعات مع بعض لتؤلف ما يعرف بجبر المجموعات .

بفرض ان $A$ و $B$ و$C$ ثلاث مجموعات ما و المجموعة $M$ هي المجموعة الشاملة نسبيا نجد ما يلي :

قانونا اللانمو :

• $A\cap A=A$
• $A\cup A=A$

قانونان التجميعيان :

• $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$
• $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$

القانونان التبديليان :

• $A\cup B=B\cup A$
• $A\cap B=B\cap A$

القانونان التوزيعيان :

• $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$
• $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

قوانين المحايد و الماص :

• $A\cup \varnothing =A$
• $A\cap M=A$
• $A\cap \varnothing =\varnothing$
• $A\cup M=M$

قوانين الاتمام :

• $A\cup A^{C}=M$
• $A\cap A^{C}=\varnothing$
• $M^{C}=\varnothing$
• $\varnothing ^{C}=M$

قانون الارتداد :

• ${(A^{C})}^{C}=A$

قانونا دومورغان :

• $(A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}$
• $(A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C}$

اقرأ أيضاً

• علم الأجزاء