متسلسلة ماكلورين

إذا كانت$x_{0}=0\,$ في متسلسلة تايلور، يمكن الحصول على متسلسلة أبسط للنشر بقرب الصفر وهي متسلسلة ماكلورين. سميت السلسلة على اسم عالم الرياضيات الإسكتلندي كولين ماكلورين.

تعريف

إذا كانت الدالة الرياضية $f(x)$ قابلة للاشتقاق $n$ مرة في النقطة ${x}_{0}\!$ فإنه يمكن كتابتها كما يلي:

$f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{k}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}+R_{n}(x)\!$

إذا عوضت $n$ بلانهاية فإنه يُحصل على متسلسلة لا منتهية هي بذاتها الدالة $f$ أي أن الجزء $R_{n}(x)\!$ يصير صفرا والمتسلسلة تساوي الدالة في كل النقاط $x$:

$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{k}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}$

أو

$f(x)=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}(x-x_{0})+{\frac {f''(x_{0})}{2!}}(x-x_{0})^{2}+\cdots$

إذا كانت $x_{0}=0\,$ في هذه المتسلسلة يمكن الحصول على متسلسلة أبسط للنشر بقرب الصفر وهي متسلسلة ماكلورين:

$f(x)=f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}(x)+{\frac {f''(0)}{2!}}(x)^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}(x)^{3}+\cdots$

أمثلة

$e^{x}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\dots$

$\sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\dots$

$\cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\dots$

$\ln(x+1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots .$

${\cosh x=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{\left({2n}\right)!}}}={1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}}+{{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots }$

${\sinh x=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{\left({2n+1}\right)!}}}={x+{\frac {x^{3}}{3!}}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots }$

وصلات داخلية

• متسلسلة تايلور
• متسلسلة (رياضيات)
• كولين ماكلورين