متباينة مينكوفسكي

في التحليل الرياضي، تنص متباينة مينكوفسكي( Minkowski inequality) على أن فضاءات L ^p هي متجهية معيارية . اترك $S$ ليكون مساحة قياس، و $1\leq p<\infty$ ثم $f$ و $g$ $L^{p}(S).$ ثم بعدها $f+g$ هو في $L^{p}(S),$ و لدينا متباينة المثلث $$\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}$$ مع التساوي ل $1<p<\infty$ إذا و فقط إذا كان $f$ و $g$ تعتمد بشكل خطي إيجابي؛ أي، $f=\lambda g$ لبعض $\lambda \geq 0$ أو $g=0.$$$\|f\|_{p}=\left(\int |f|^{p}d\mu \right)^{\frac {1}{p}}$$ و إذا$p<\infty ,$ أو في حالة $p=\infty$ بواسطة الحد الأقصى الأساسي $$\|f\|_{\infty }=\operatorname {ess\ sup} _{x\in S}|f(x)|.$$

متباينة مينوفسكي هي متباينة المثلث في $L^{p}(S).$ إنها حالة خاصة للحقيقة الأكثر عمومية $$\|f\|_{p}=\sup _{\|g\|_{q}=1}\int |fg|d\mu ,\qquad {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$$ حيث أنه من الواضح جليا أن الجانب الأيمن يلبي المتباينة المثلثية.

كما هو الحال مع متباينة هولدر، تخصص متباينة مينكوفسكي للمتتاليات و المتجهات باستخدام مقياس العد : $${\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}+{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}$$ و ذلك لجميع الأعداد الحقيقية أو المركبة $x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{n}$ و عندما $n$ هي عددية $S$ أي عدد العناصر في $S$ .

المتباينة سميت على إسم عالم الرياضيات الألماني هيرمان مينكوفسكي.

الأدلة

أولاً، نثبت أن $f+g$ له حد $p$ - القاعدة إذا $f$ و $g$ كلاهما يفعل ذلك، و الذي يتبعه $$|f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).$$ في الواقع، نستخدم هنا عادة حقيقة أن $h(x)=|x|^{p}$ محدبا على $\mathbb {R} ^{+}$ (ل $p>1$ ) و بالتالي، و وفقًا لتعريف التحدب، $$\left|{\tfrac {1}{2}}f+{\tfrac {1}{2}}g\right|^{p}\leq \left|{\tfrac {1}{2}}|f|+{\tfrac {1}{2}}|g|\right|^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|g|^{p}.$$ مما يعني أن $$|f+g|^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|2f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|2g|^{p}=2^{p-1}|f|^{p}+2^{p-1}|g|^{p}.$$

الآن، يمكننا أن نتحدث بشكل منطقي عن $\|f+g\|_{p}.$ إذا كان صفرًا، فإن متباينة مينكوفسكي صحيحة. لنفترض الآن أن $\|f+g\|_{p}$ ليس صفرًا. باستخدام متباينة المثلث ثم متباينة هولدر، نجد أن:$${\begin{aligned}\|f+g\|_{p}^{p}&=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \\&=\int |f+g|\cdot |f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&\leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&=\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&\leq \left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}&&{\text{ Hölder's inequality}}\\&=\left(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}\right){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}\end{aligned}}$$

للحصول على متباينة مينكوفسكي يجب ضرب كلا الطرفين في $${\frac {\|f+g\|_{p}}{\|f+g\|_{p}^{p}}}.$$

متباينة مينكوفسكي المتكاملة

لفترض أن $(S_{1},\mu _{1})$ و $(S_{2},\mu _{2})$ هما مساحتان قياس منتهيتان 𝜎 و $F:S_{1}\times S_{2}\to \mathbb {R}$ قابلة للقياس. إذن ستكون متباينة مينكوفسكي التكاملية على الشكل: $$\left[\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right|^{p}\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right]^{\frac {1}{p}}~\leq ~\int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\mu _{1}(\mathrm {d} x),$$ مع تعديلات واضحة في الخالة$p=\infty .$ لو $p>1,$ وكلا الجانبين محدودان، يتحقق التساوي فقط إذا $|F(x,y)|=\varphi (x)\,\psi (y)$ ae لبعض الدوال القابلة للقياس غير السلبي $\varphi$ و $\psi .$

إذا $\mu _{1}$ هو مقياس العد لمجموعة من نقطتين $S_{1}=\{1,2\},$ إذن فمتباينة مينكوفسكي التكاملية تعطي متباينة مينكوفسكي المعتادة كحالة خاصة: لوضع $f_{i}(y)=F(i,y)$ ل $i=1,2,$ التفاوت المتكامل سيعطي $$\|f_{1}+f_{2}\|_{p}=\left(\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right|^{p}\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\leq \int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\mu _{1}(\mathrm {d} x)=\|f_{1}\|_{p}+\|f_{2}\|_{p}.$$

إذا كانت الدالة قابلة للقياس$F:S_{1}\times S_{2}\to \mathbb {R}$ ليست سالبة إذن للجميع $1\leq p\leq q\leq \infty ,$ $$\left\|\left\|F(\,\cdot ,s_{2})\right\|_{L^{p}(S_{1},\mu _{1})}\right\|_{L^{q}(S_{2},\mu _{2})}~\leq ~\left\|\left\|F(s_{1},\cdot )\right\|_{L^{q}(S_{2},\mu _{2})}\right\|_{L^{p}(S_{1},\mu _{1})}\ .$$

و قد تم تعميم هذا الترميز على $$\|f\|_{p,q}=\left(\int _{\mathbb {R} ^{m}}\left[\int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x,y)|^{q}\mathrm {d} y\right]^{\frac {p}{q}}\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}$$ ل $f:\mathbb {R} ^{m+n}\to E,$ مع ${\mathcal {L}}_{p,q}(\mathbb {R} ^{m+n},E)=\{f\in E^{\mathbb {R} ^{m+n}}:\|f\|_{p,q}<\infty \}.$ باستخدام هذا الترميز، يكشف التلاعب بالأسس أنه إذا $p<q,$ إذن $\|f\|_{q,p}\leq \|f\|_{p,q}.$

عكس عدم المساواة

$p<1$ فالتباين العكسي ينطبق على: $$\|f+g\|_{p}\geq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}.$$

نحن بحاجة أيضًا إلى التقييد الذي يفرضه كل من $f$ و $g$ ليست سالبة كما يمكننا أن نلاحظ من المثال $f=-1,g=1$ و $p=1:$$\|f+g\|_{1}=0<2=\|f\|_{1}+\|g\|_{1}.$

تتبع المتباينة العكسية نفس الحجة التي تتبعها متباينة مينكوفسكي القياسية، لكنها تستخدم متباينة هولدر المعكوسة أيضًا في هذا النطاق

باستخدام متباينة مينكوفسكي العكسية، يمكننا إثبات أن متوسطات القوة مع p ≤ 1، مثل المتوسط التوافقي و الهندسي مقعرة.

التعميم على الوظائف الأخرى

تُعمم متباينة مينكوفسكي على وظائف أخرى $\phi (x)$ ما وراء دالة القدرة $x^{p}.$ التفاوت المعمم له الشكل التالي$$\phi ^{-1}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\phi (x_{i}+y_{i})\right)\leq \phi ^{-1}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\phi (x_{i})\right)+\phi ^{-1}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\phi (y_{i})\right).$$

بشروط كافية مختلفة على $\phi$ تم العثور عليها بواسطة مولهولاند و آخرين. مثلا، بالنسبة لـ $x\geq 0$ مجموعة واحدة من الشروط الكافية من مولهولاند هي:

1. $\phi (x)$ مستمرة و متزايدة بشكل صارم مع $\phi (0)=0.$
2. $\phi (x)$ هي دالة محدبة لـ $x.$
3. $\log \phi (x)$ هي دالة محدبة لـ $\log(x).$

انظر أيضا

• Cauchy–Schwarz inequality – a useful inequality encountered in many different settings, such as linear algebra, analysis, probability theory, vector algebra and other areas. It is considered to be one of the most important inequalities in all of mathematicsPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Hölder's inequality
• Mahler's inequality
• Young's convolution inequality
• Young's inequality for products

المراجع

•  
• Hardy، G. H.؛ Littlewood، J. E.؛ Pólya، G. (1988). Inequalities. Cambridge Mathematical Library (ط. second). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN:0-521-35880-9.
• Minkowski، H. (1953). Geometrie der Zahlen. Chelsea..
• Stein، Elias (1970). Singular integrals and differentiability properties of functions. Princeton University Press..
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Minkowski inequality", Encyclopedia of Mathematics ‏ (بالإنجليزية), Springer, ISBN:978-1-55608-010-4
• Lohwater، Arthur J. (1982). "Introduction to Inequalities". مؤرشف من الأصل في 2024-06-13.

قراءة إضافية

• Bullen, P. S. (2003), "The Power Means", Handbook of Means and Their Inequalities (بالإنجليزية), Dordrecht: Springer Netherlands, pp. 175–265, DOI:10.1007/978-94-017-0399-4_3, ISBN:978-90-481-6383-0, Retrieved 2022-06-23