مبرهنة فيرما الصغرى
من أجل مبرهنات أخرى مسماة نسبة إلى بيير دي فيرما، انظر إلى مبرهنة فيرما (توضيح).
مبرهنة فيرما الصغرى | |
---|---|
النوع | مبرهنة |
الصيغة | [1] [1] |
جزء من | قائمة المبرهنات الرياضية |
سميت باسم | بيير دي فيرما |
تعديل مصدري - تعديل ![]() |
مبرهنة فيرما الصغرى (بالإنجليزية: Fermat's little theorem) هي مبرهنة تنص على أنه إذا كان p عددا أوليا، فإنه ولأي عدد صحيح a ،تكون ap - a قابلة للقسمة على p،ويمكن كتابتها رياضياتيا بالعلاقة:
سميت المبرهنة بهذا الاسم لتمييزها عن مبرهنة فيرما الأخيرة. بعبارة أخرى، إذا أخذ عدد a وضرب في نفسه p مرة ثم طرح منه a فالعدد الناتج من هذه العمليات يقبل القسمة على p.
يمكن أيضاً كتابة العلاقة السابقة بالصورة:
- إذا كان .
مبرهنة فيرما الصغرى
عدلليكن p عددا اوليا موجبا
ملاحظة :مبرهنة فيرما الصغرى تضل صالحة في
نتيجة مبرهنة فيرما الصغرى
عدلليكن p عددا اوليا موجبا
إذا كان فإن
البرهنة
عدلسنثبت النظرية باستخدام الاستقراء الرياضي لكل الأعداد الصحيحة الموجبة a ≥ 0. خطوة الأساس هي حينما 0 p ≡ 0 (mod p) صحيحة لأنها صحيحة للأعداد الصحيحة. ثم نثبتها لـa = k ومنها ننطلق لـa = k+1. ولهذه الخطوة سنحتاج إلى الاستدلال:
استدلال
عدللأي عدد أولي p فإن
لبرهنة الاستدلال سنحتاج إلى تقديم نظرية ذات الحدين والتي تنص على أنه لأي عدد صحيح n
حيث المعاملات معاملات ذات الحدين
والتي يمكن كتابتها بصيغة المضروب
و حيث أن جميع المعاملات أعداد صحيحة وحين 0 < p > i فإنه لايوجد قاسم لـp في المقام، وبالتالي فإن المعامل يحتوي على قاسم p في البسط وبالتالي
وهذا يقصي جميع الحدود ماعدا الحدين الأول والأخير .
البرهان بالاستقراء
عدللنفرض أن (kp ≡ k (mod p و لننظر لـk+1)p) من الاستدلال لدينا
وباستخدام نظرية الاستقراء لدينا (kp ≡ k (mod p; وببساطة 1p = 1
وبالتالي نحصل على
وهو مانريد إثباته a = k+1. ∎
عموميات
عدلإذا كان p' عددا أوليا وكان m وn عددين صحيحين طبيعيين حيث m يوافق n بترديد p-1, فإن لكل عدد صحيح ؟ لدينا: am ≡ an (بترديد p). (≡ يوافق بترديد)
انظر أيضا
عدلمراجع
عدل- ^ . ISBN:978-0-07-338315-6.
{{استشهاد ويب}}
: الوسيط|title=
غير موجود أو فارغ (من ويكي بيانات) (مساعدة) والوسيط|مسار=
غير موجود أو فارع (مساعدة)
وصلات خارجية
عدلفي كومنز صور وملفات عن: مبرهنة فيرما الصغرى |