مبرهنة الجذر النسبي

في الجبر، مبرهنة الجذر النسبي (بالإنجليزية: Rational root theorem)‏ هي مبرهنة تتعلق بالحلول الجذرية لمعادلة حدودية معاملاتها أعداد صحيحة.^[1]^[2] لتكن المعادلة الحدودية

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}=0

حيث المعاملات أعداد صحيحة ( $a_{i}\in \mathbb {Z}$ ) وحيث المعاملان الأول والأخير يختلفان عن الصفر ( $a_{0},a_{n}\neq 0$ ).

كل حل نسبي لـx يمكن كتابته على شكل كسر x=p/q في ابسط صورة تحقق أن p عدد صحيح يقسم $a_{0}$ و q عدد صحيح يقسم معامل $a_{n}$ .
من النتائج المباشرة من المبرهنة هي أن الحل النسبي يجب أن يكون صحيحاً في حال $a_{n}=1$ .

البرهان

نعرف كثيرة الحدود $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}=0$ حيث $a_{n},\cdots ,a_{0}$ أعداد صحيحة ولنفرض أن p/q حل $P(x)$ حيث p,q أوليان نسبياً.

بالتعويض في $P(x)$ نحصل على

$P(p/q)=a_{n}(p/q)^{n}+a_{n-1}(p/q)^{n-1}+\cdots +a_{1}(p/q)+a_{0}=0$

وبنقل $a_{0}$ للطرف الآخر وضرب طرفي المعادلة في $q^{n}$ وأخذ $p$ كعامل مشترك نصل إلى

$p(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1})=-a_{0}q^{n}.$

وبما أن ما بين الأقواس عدد صحيح ولكون p,q أوليان نسبياً نصل إلى أن $p$ تقسم a₀. و بالمثل، إذا نقلنا الحد القائد $a_{n}$ للطرف الآخر وبالضرب في $q^{n}$ نصل إلى