قاعدة الضرب

في التحليل الرياضي، قاعدة الضرب (وتدعى أيضًا قانون لايبنتز) قاعدة تستخدم لحساب اشتقاق حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق :

لهذا يمكن القول تبعا لترميز لاغرانج :

(fg)'=f'g+fg'\,

{\mathrm {d}  \over \mathrm {d} x}(uv)=u{\mathrm {d} v \over \mathrm {d} x}+v{\mathrm {d} u \over \mathrm {d} x}.

.^[1]^[2]^[3]

أمثلة

لنحسب تفاضل $f(x)=\sin(x)\cos(x)$ . حسب قاعدة الضرب لدينا:

{\begin{aligned}{\mathrm {d}  \over \mathrm {d} x}{\big [}\sin(x)\cos(x){\big ]}&=\sin(x){\mathrm {d}  \over \mathrm {d} x}{\big [}\cos(x){\big ]}+\cos(x){\mathrm {d}  \over \mathrm {d} x}{\big [}\sin(x){\big ]}\\&=-\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)\\&=1-2\sin ^{2}(x).\end{aligned}}

لتكن $h(x)=f(x)g(x)$ ، ونعتبر أن $g'(x)$ و $f'(x)$ موجودين. لدينا:

{\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{a\to 0}{\frac {h(x+a)-h(x)}{a}}=\lim _{a\to 0}{\frac {f(x+a)g(x+a)-f(x)g(x)}{a}}\\&=\lim _{a\to 0}{\frac {f(x+a)g(x+a)-f(x)g(x+a)+f(x)g(x+a)-f(x)g(x)}{a}}\\&=\lim _{a\to 0}{\frac {[f(x+a)-f(x)]\cdot g(x+a)+f(x)\cdot [g(x+a)-g(x)]}{a}}\\&=\lim _{a\to 0}{\frac {f(x+a)-f(x)}{a}}\cdot \lim _{a\to 0}g(x+a)+\lim _{a\to 0}f(x)\cdot \lim _{a\to 0}{\frac {g(x+a)-g(x)}{a}}\\&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}

قاعدة الضرب يمكن أن تعمم عند حساب اشتقاق أكثر من حدين. على سبيل المثال، اشتقاق جداء ثلاثة حدود يُحسب كما يلي:

{\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}.

من أجل حساب اشتقاق جداء عدد معين من الدوال $f_{1},\dots ,f_{k}$ ، يتوفر ما يلي:

{\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left(\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right)\prod _{j=1,j\neq i}^{k}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).

d^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot d^{(n-k)}(u)\cdot d^{(k)}(v).

(uv)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).

\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}\right)^{(n)}=\sum _{j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{k}=n}{n \choose j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}^{(j_{i})}.