صيغة مشابهة لصيغة ماشن

في الرياضيات، الصيغ المشابهة لصيغة ماشن هي صنف خاص من المتطابقات المحتوية على π = 3.14159... والتي تعمم صيغة جون ماشن. يعود تاريخ هاته الصيغة إلى عام 1706.

${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}},$

للصيغ المشابهة لصيغة ماشن الشكل التالي :

${\frac {\pi }{4}}=\sum _{n}^{N}a_{n}\arctan {\frac {1}{b_{n}}}$

حيث $a_{n}$ و $b_{n}$ أعداد صحيحة.

الاستنتاج

نظرا إلى قائمة المطابقات المثلثية، يُحصل على المتطابقتين التاليتين :

$\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

بوضع :

$\sin(\alpha )=a_{1}$ ،$\sin(\beta )=a_{2}$

$\cos(\alpha )=b_{1}$ ،$\cos(\beta )=b_{2}$

نجد أن:

$\arctan {\frac {a_{1}}{b_{1}}}+\arctan {\frac {a_{2}}{b_{2}}}=\arctan {\frac {a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}{b_{1}b_{2}-a_{1}a_{2}}},$

(3)

إذا توفر ما يلي : $-{\frac {\pi }{2}}<\arctan {\frac {a_{1}}{b_{1}}}+\arctan {\frac {a_{2}}{b_{2}}}<{\frac {\pi }{2}}.$

$2\arctan {\frac {1}{5}}$

$=\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{5}}$

$=\arctan {\frac {1*5+1*5}{5*5-1*1}}$

$=\arctan {\frac {10}{24}}$

$=\arctan {\frac {5}{12}}$

$4\arctan {\frac {1}{5}}$

$=2\arctan {\frac {1}{5}}+2\arctan {\frac {1}{5}}$

$=\arctan {\frac {5}{12}}+\arctan {\frac {5}{12}}$

$=\arctan {\frac {5*12+5*12}{12*12-5*5}}$

$=\arctan {\frac {120}{119}}$

$4\arctan {\frac {1}{5}}-{\frac {\pi }{4}}$

$=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{1}}$

$=4\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {-1}{1}}$

$=\arctan {\frac {120}{119}}+\arctan {\frac {-1}{1}}$

$=\arctan {\frac {120*1+(-1)*119}{119*1-120*(-1)}}$

$=\arctan {\frac {1}{239}}$

${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$