رقم موتسكين

في الرياضيات ، الnth رقم موتسكين هو عدد الحلات المختلفة لرسم اوتار غير متقاطعة بين n نقاط في دائرة(ليس من الضرورة لمس كل النقاط بالاوتار). تتم تسمية أرقام موتسكين على اسم ثيودور موتسكين ولديها تطبيقات متنوعة في الهندسة والنسجيات ونظرية الأرقام .

ارقام موتسكين $M_{n}$ ل $n=0,1,\dots$ يشكلون التسلسل:

1 ، 1 ، 2 ، 4 ، 9 ، 21 ، 51 ، 127 ، 323 ، 835 ، 2188 ، 5798 ، 15511 ، 41835 ، 113634 ، 310572 ، 853467 ، 2356779 ، 6536382 ، 18199284 ، 50852019 ، 142547559 ، 400763223 ، 1129760415 ، 3192727797 ، 9043402501 ، 25669818476 ، 73007772802 ، 208023278209 ، 593742784829 ، ... (متسلسلة A001006 في OEIS)

أمثلة

الشكل التالي يُظهر الطرق التسع لرسم اوتار غير متقاطعة بين 4 نقاط في دائرة (M₄ = 9):

الشكل التالي يُظهر الطرق الواحدة والعشرون لرسم اوتار غير متقاطعة بين 5 نقاط في دائرة (M₅ = 21):

الخصائص

أرقام موتسكين تلبية العلاقات تكرار

$M_{n}=M_{n-1}+\sum _{i=0}^{n-2}M_{i}M_{n-2-i}={\frac {2n+1}{n+2}}M_{n-1}+{\frac {3n-3}{n+2}}M_{n-2}.$

يمكن التعبير عن أرقام موتسكين من حيث المعامل الثنائي والأرقام الكاتالونية :

$M_{n}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}C_{k}.$

الدالة المولدة $m(x)=\sum _{n=0}^{\infty }M_{n}x^{n}$ من أرقام موتسكين ترضي:

$x^{2}m(x)^{2}+(x-1)m(x)+1=0$

انظر أيضا

• عدد ديلانوي
• رقم نارايانا
• رقم شرودر

المراجع

• Catalan, Motzkin, and Riordan numbers، 1999
• Motzkin numbers، 1977
• Vexillary involutions are enumerated by Motzkin numbers، 2001
• Relations between hypersurface cross ratios, and a combinatorial formula for partitions of a polygon, for permanent preponderance, and for non-associative products، 1948