دوال خاصة

الدوال الخاصة (بالإنجليزية: Special Functions)‏ هي مجموعة من الدوال التحليلية غير الابتدائية، والتي ظهرت في القرن التاسع عشر كحل لمعادلات في الفيزياء الرياضية، وخاصة المعادلات التفاضلية الجزئية من الدرجة الثانية والرابعة.

تداخل الأمواج المنبعثة من مصدرين أسطوانيين. يتم تفسير هذه الظاهرة باستخدام دوال بيسل .

قائمة الدوال الخاصة

• تكاملات أويلر: دالة بيتا، دالة غاما والدوال المرتبطة بها، دالة ديغاما (Digamma) ، دالة غاما غير مكتملة ، دالة بوليغاما (Polygamma). تدخل في حساب التكامل، في دراسة المتسلسلات وفي حساب الاحتمالات.
• دالة الخطأ: تستخدم في حساب الاحتمالات والفيزياء الإحصائية، ومتغيراتها (erfi ، دالة Dawson ،... إلخ ).
• دالة التكامل اللوغاريتمي: تظهر في توزيع الأعداد الأولية.
• تكامل مثلثي
  • الجيب الجوهري (Sinc) والجيب التكاملي لـ Fresnel: ظهرا في دراسة الحيود . أظهر إدموند تايلور ويتاكر أن دالة Sinc تلعب دورًا رئيسيًا في نظرية الاستيفاء على شبكة من النقاط المتساوية.
• دالة Airy: التي أدخلت خلال دراسة تشتت الضوء.
• التكاملات الإهليلجية: الناتجة عن دراسة التذبذبات التوافقية ذات السعة الكبيرة.
• دوال Legendre: والتي هي الحلول الأساسية لمعادلة لابلاس على الكرة.
• دالة Bessel: والتي هي الحلول الأساسية لمعادلة لابلاس على الاسطوانة الدائرية.
• دالة Hankel: حل خاص لمعادلة الأمواج في الإحداثيات الأسطوانية.
• دالة زيتا لريمان
• الدوال فوق الهندسية (Hypergeometric) ، التي تربط عدة دوال خاصة مع بعضها البعض بواسطة المعادلات الدالية.
• دوال Mathieu : ظهرت في دراسة اهتزازات الغشاء الإهليلجي والإشعاع الكهرومغناطيسي.
• دالة ثيتا ، والتي تعبر عن تكامل إهليلجي.
• متعدد اللوغاريتمات