دالة غودرمانية

تربط الدالة الغودرمانية أو دالة غودرمان، التي سميت على اسم كريستوف غودرمان (1798–1852)، الدوال المثلثية بالدوال الزائدية دون استخدام الأعداد المركبة.

دالة غودرمانية
التمثيل البياني للدالة الغودرمانية التمثيل البياني للدالة الغودرمانية
تدوين	$\operatorname {gd} x$
تعريف الدالة	$\operatorname {gd} x=\int _{0}^{x}\operatorname {sech} t\,\mathrm {d} t$
دالة عكسية	${\begin{aligned}\operatorname {gd} ^{-1}x=\int _{0}^{x}\sec t\,\mathrm {d} t\\[6pt]=\ln \left|\tan x+\sec x\right|\end{aligned}}$
الميزات الأساسية
زوجية أم فردية؟	فردية
مجال الدالة	$\mathbb {R}$
المجال المقابل	$\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر	0
نهاية الدالة عند +∞	${\frac {\pi }{2}}$
نهاية الدالة عند -∞	$-{\frac {\pi }{2}}$
خطوط مقاربة	$y={\frac {\pi }{2}}$ و $y=-{\frac {\pi }{2}}$
جذور الدالة	0
نقاط ثابتة	0

تعرّف بـ :

$\operatorname {gd} x=\int _{0}^{x}\operatorname {sech} t\,\mathrm {d} t.$

الخصائص

التعريفات البديلة

${\begin{aligned}\operatorname {gd} x&=\arcsin \left(\tanh x\right)=\arctan(\sinh x)=\operatorname {arccsc} (\coth x)\\[6pt]&=\operatorname {sgn}(x)\arccos \left(\operatorname {sech} x\right)=\operatorname {sgn}(x)\operatorname {arcsec} (\cosh x)\\[6pt]&=2\arctan \left(\tanh {\frac {x}{2}}\right)\\[6pt]&=2\arctan \left(e^{x}\right)-{\frac {\pi }{2}}=-i\ln \left(\operatorname {sech} x+i\tanh x\right)\\[6pt]&=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {1+i\sinh x}{1-i\sinh x}}\right)=-i\ln \left({\frac {1+i\sinh x}{\cosh x}}\right)\\[6pt]&=-i\ln \left({\frac {1+i\tanh {\frac {x}{2}}}{1-i\tanh {\frac {x}{2}}}}\right)=-i\ln \left(i\tanh \left({\frac {x}{2}}-{\frac {i\pi }{4}}\right)\right)~.\end{aligned}}$

بعض المتطابقات

${\begin{aligned}\sin(\operatorname {gd} x)&=\tanh x\;;&\csc(\operatorname {gd} x)&=\coth x\;;\\[6pt]\cos(\operatorname {gd} x)&=\operatorname {sech} x\;;&\sec(\operatorname {gd} x)&=\cosh x\;;\\[6pt]\tan(\operatorname {gd} x)&=\sinh x\;;&\cot(\operatorname {gd} x)&=\operatorname {csch} x\;;\\[6pt]\tan \left({\frac {\operatorname {gd} x}{2}}\right)&=\tanh {\frac {x}{2}}~.\end{aligned}}$

الدالة العكسية

رسم بياني لمعكوس دالة غودرمانية

${\begin{aligned}\operatorname {gd} ^{-1}x&=\int _{0}^{x}\sec t\,\mathrm {d} t\qquad {\text{ for }}\quad -{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\\[8pt]&=\ln \left|{\frac {1+\sin x}{\cos x}}\right|={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right|=\ln \left|{\frac {1+\tan {\frac {x}{2}}}{1-\tan {\frac {x}{2}}}}\right|\\[8pt]&=\ln \left|\tan x+\sec x\right|=\ln \left|\tan \left({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|\\[8pt]&=\operatorname {artanh} (\sin x)=\operatorname {arsinh} (\tan x)\\[6pt]&=2\operatorname {artanh} \left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\\[6pt]&=\operatorname {arcoth} (\csc x)=\operatorname {arcsch} (\cot x)\\[6pt]&=\operatorname {sgn} (x)\operatorname {arcosh} (\sec x)=\operatorname {sgn} (x)\operatorname {arsech} (\cos x)\\[6pt]&=-i\operatorname {gd} (ix)~.\end{aligned}}$

بعض المتطابقات

${\begin{aligned}\sinh \left(\operatorname {gd} ^{-1}x\right)&=\tan x\;;&\operatorname {csch} \left(\operatorname {gd} ^{-1}x\right)&=\cot x\;;\\[6pt]\cosh \left(\operatorname {gd} ^{-1}x\right)&=\sec x\;;&\operatorname {sech} \left(\operatorname {gd} ^{-1}x\right)&=\cos x\;;\\[6pt]\tanh \left(\operatorname {gd} ^{-1}x\right)&=\sin x\;;&\coth \left(\operatorname {gd} ^{-1}x\right)&=\csc x~.\end{aligned}}$

المشتقات

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}\operatorname {gd} x=\operatorname {sech} x\;;\quad {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}\operatorname {gd} ^{-1}x=\sec x~.$

أنظر أيضا

• دوال زائدية عكسية
• إسقاط مركاتور
• منحنى متساوي المماسات
• قائمة المطابقات المثلثية