دالة روزين بروك

في الإستمثال الرياضي , تعتبر دالة روزين بروك دالة غير محدبة وتستخدم كمشكلة في اختبار إستمثال الخوارزميات . وسميت على اسم هاورد روزين بروك عام 1960 . وهي تعرف أيضا بدالة الموز ( banana function ) .
وهدف الدالة هو الحصول على أفضل وأقل قيمة .

رسمة لدالة روزين بروك في متغيرين

وتعرف الدالة بالشكل التالي :

$f(x,y)=(a-x)^{2}+b(y-x^{2})^{2}$

والقيمة الصغري لها عند :

$(x,y)=(a,a^{2})$
حيث :
$f(x,y)=0$
وعادة ما تكون
$a=1$
و
$b=100$.

التعميمات متعددة الأبعاد

دالة روزين بروك

عادة نواجة متغيرين مختلفين . الأول هو مجموع $N/2$ , وتفك بالمعادلة التالية :

$f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{N})=\sum _{i=1}^{N/2}\left[100(x_{2i-1}^{2}-x_{2i})^{2}+(x_{2i-1}-1)^{2}\right].$

وتكون قيم $N$ موجبة فقط .ويكون للدالة في هذة الحالة حلول بسيطة ويمكن التنبؤ بها .

والمتغير الثاني هو :

$f(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{N-1}100(x_{i+1}-x_{i}^{2})^{2}+(1-x_{i})^{2}\quad {\mbox{where}}\quad \mathbf {x} =[x_{1},\ldots ,x_{N}]\in \mathbb {R} ^{N}.$

وهذا المتغير تبين أن لدية قيمة صغري واحدة فقط ل $N=3$ عند $(1,1,1)$ . وقيمتين صغري لكل N قيمتها من $4\leq N\leq 7$ وهذة القيمة الصغري تقع بالقرب من النقطة $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{N})=(-1,1,\dots ,1)$. ويتم الحصول على هذة النتيجة بجعل درجة الدالة تساوي صفر .ويتم استخدام مبرهنة ستورم للحصول على عدد الجذور الحقيقية للدالة بشرط أن تكون قيمة $|x_{i}|<2.4$. وإذا كانت قيمة $N$ أكبر تفشل هذة الطريقة بسبب حجم المعاملات .

النقاط الثابتة

العديد من الجذور تظهر نمط منتظم عندما يتم رسمها .

النقاط الثابتة

انظر أيضا

• دالة شيكل .
• دالة راستريجن .
• دالة هيمل بلوه .

ملاحظات

• Rosenbrock، H. H. (1960)، "An automatic method for finding the greatest or least value of a function"، The Computer Journal، ج. 3، ص. 175–184، DOI:10.1093/comjnl/3.3.175، ISSN:0010-4620، MR:0136042

وصلات خارجية

• Rosenbrock function plot in 3D
• Minimizing the Rosenbrock Function by Michael Croucher
• إيريك ويستاين، Rosenbrock Function، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).