حلم الطالب المبتدئ

حلم الطالب المبتدئ (بالإنجليزية: freshman's dream)‏ هو اسم يُطلق في بعض الأحيان على الخطأ: $(x+y)^{n}=x^{n}+y^{n}$ حيث $n$ عدد حقيقي (عادة يكون عدد صحيح موجب أكبر من 1).

للتوضيح: مربع طول ضلعه x+y، ومساحة سطحه ليست $x^{2}+y^{2}$ بل تزيد بمقدار $2xy$.

يحدث هذا الخطأ بشكل شائع بين الطلاب المبتدئين في حساب الأس لمجموع عددين حقيقيين. عندما تكون $n=2$، ولتوضيح سبب الخطأ فإن $(x+y)^{2}$ يمكن أن تحسب بشكل صحيح من خلال المتطابقة الشهيرة أو ما يعرف بطريقة FOIL حيث تقول بأن: «مربع مجموع عددين هو مربع الأول + ضعفي الأول في الثاني + مربع الثاني»، حيث يكون الجواب $x^{2}+2xy+y^{2}$.

وعندما تأخذ $n$ أعداد صحيحة موجبة أكبر، يعطى الناتج الصحيح بواسطة مبرهنة ثنائية الحد.

ويُطلق اسم «حلم الطالب المبتدئ» في بعض الأحيان أيضاً على المبرهنة التي تقول بأنه: لكل عدد أولي $p$، إذا كان العددان $x$ و $y$ مقدارين من حلقة تبادلية مميزها هو (characteristic) $p$ فإن: $(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$ ; في هذه الحالة يكون هذا «الخطأ» هو في الواقع الجواب الصحيح، وذلك لأن تقسيم $p$ على كل المعاملات الثنائية يُبقي العددان الأول والأخير.

أمثلة

• $(1+4)^{2}=5^{2}=25$ في حين أن: $1^{2}+4^{2}=17$
• ${\sqrt {(x+y)^{2}}}$ لا تساوي ${\sqrt {(x)^{2}}}+{\sqrt {(y)^{2}}}=\left|x\right|+\left|y\right|$

على سبيل المثال: ${\sqrt {9+16}}={\sqrt {25}}=5$ وهذا لا يساوي 3+4 = 7 . في هذا المثال تم ارتكاب الخطأ من أجل الأس $n=1/2$

برهان

لكل عدد أولي $p$، إذا كان العددان $x$ و $y$ مقدارين من حلقة تبادلية مميزها (characteristic) هو $p$ فإن: $(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$

يمكن برهان ذلك عند تطبيق مبرهنة ثنائية الحد حيث:

$(x+y)^{p}=\sum _{i=0}^{p}{\binom {p}{i}}x^{i}y^{p-i}$.

حيث:

.${\binom {p}{i}}={\frac {p!}{(p-i)!i!}}=p\!\cdot \!{\frac {(p-1)!}{(p-i)!i!}}$

فعندما يكون $p$ عددا أوليا

و $1\leq i\leq p-1$

فإن $i!$ وكذلك $(p-i)!$ لا تقبلان القسمة على $p$.

و تكون ${\frac {(p-1)!}{(p-i)!i!}}$ هو العدد الصحيح $m$ حيث أن ${\binom {p}{i}}=pm\equiv 0$.

لذا $(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$.

انظر أيضاً

• حلم الطالب الجامعي