جداء واليس

في الرياضيات، جداء واليس (بالإنجليزية: Wallis product)‏ من أجل حساب π ينص على أن :

$\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}$

اكتشف هذا الجداء جون واليس عام 1655.

البرهان باستعمال جداء أويلر غير المنتهي، مطبقا على دالة الجيب

استعمل واليس في هذه الصيغة موضوعة لم يُبرهن عليها حتى القرن التاسع عشر، مطبقة على دالة الجيب، والتي قد تسمى جداء أويلر غير المنتهي.

${\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)$

ليكن x = ^π⁄₂:

${\begin{aligned}\Rightarrow {\frac {2}{\pi }}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{4n^{2}}}\right)\\\Rightarrow {\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)\\&=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdots \end{aligned}}$

انظر أيضا

• صيغة فييت، صيغة أخرى تتمثل في جداء غير منته يمكن من حساب π.