توافقيات كروية متجهية

في الرياضيات، يشير مصلح التوافقيات الكروية المتجهية إلى تعميم مفهوم التوافقيات الكروية على المتجهات (الأشعة) عوضا عن المقادير السلمية التي تستخدم عادة لحل معادلة لابلاس.

تعريف

يوجد اصطلاحات متعددة سنستعرض احداها وحسب، تعرف التوافقيات الكروية المتجهية على النحو التالي :

• $\mathbf {Y} _{lm}=Y_{lm}{\hat {\mathbf {r} }}$
• $\mathbf {\Psi } _{lm}=r\nabla Y_{lm}$
• $\mathbf {\Phi } _{lm}={\vec {\mathbf {r} }}\times \nabla Y_{lm}$

$\mathbf {E} =\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\left(E_{lm}^{r}(r)\mathbf {Y} _{lm}+E_{lm}^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{lm}+E_{lm}^{(2)}(r)\mathbf {\Phi } _{lm}\right)$

الخواص الأساسية

التناظر

$\mathbf {Y} _{l,-m}=(-1)^{m}\mathbf {Y} _{lm}^{*}\qquad \mathbf {\Psi } _{l,-m}=(-1)^{m}\mathbf {\Psi } _{lm}^{*}\qquad \mathbf {\Phi } _{l,-m}=(-1)^{m}\mathbf {\Phi } _{lm}^{*}$

تدرج حقل سلمي

لنأخد منشور متعدد الأقطاب لحقل سلمي ما

$\phi =\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\phi _{lm}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )$

يمكن التعبير عن التدرج باستخدام مفهوم التوافقيات الكروية المتجهية كما يلي

$\nabla \phi =\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\left({\frac {\mathrm {d} \phi _{lm}}{\mathrm {d} r}}\mathbf {Y} _{lm}+{\frac {\phi _{lm}}{r}}\mathbf {\Psi } _{lm}\right)$

التفرق

من أجل أي حقل متعدد الأقطاب لدينا :

$\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {Y} _{lm}\right)=\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} r}}+{\frac {2}{r}}f\right)Y_{lm}$

$\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{lm}\right)=-{\frac {l(l+1)}{r}}fY_{lm}$

$\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{lm}\right)=0$

من خلال التركيب سنحصل على التفرق لأي حقل المتجهات كما يلي

$\nabla \cdot \mathbf {E} =\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\left({\frac {\mathrm {d} E_{lm}^{r}}{\mathrm {d} r}}+{\frac {2}{r}}E_{lm}^{r}-{\frac {l(l+1)}{r}}E_{lm}^{(1)}\right)Y_{lm}$

الدوران

$\nabla \times \left(f(r)\mathbf {Y} _{lm}\right)=-{\frac {1}{r}}f\mathbf {\Phi } _{lm}$

$\nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{lm}\right)=\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} r}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Phi } _{lm}$

$\nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{lm}\right)=-{\frac {l(l+1)}{r}}f\mathbf {Y} _{lm}-\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} r}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Psi } _{lm}$

أمثلة

التوافقيات الكروية المتجهية الأولى

• $l=0\,$

• $\mathbf {Y} _{00}={\sqrt {\frac {1}{4\pi }}}{\hat {\mathbf {r} }}$

• $\mathbf {\Psi } _{00}=\mathbf {0}$

• $\mathbf {\Phi } _{00}=\mathbf {0}$

• $l=1\,$

• $\mathbf {Y} _{10}={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cos \theta \,{\hat {\mathbf {r} }}$
• $\mathbf {Y} _{11}=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }\sin \theta \,{\hat {\mathbf {r} }}$

• $\mathbf {\Psi } _{10}=-{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}$
• $\mathbf {\Psi } _{11}=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+\mathrm {i} \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right)$

• $\mathbf {\Phi } _{10}=-{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}$
• $\mathbf {\Phi } _{11}={\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }\left(\mathrm {i} \,{\hat {\mathbf {\theta } }}-\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right)$

• $l=2\,$

• $\mathbf {Y} _{20}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,(3\cos ^{2}\theta -1)\,{\hat {\mathbf {r} }}$
• $\mathbf {Y} _{21}=-{\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }\,{\hat {\mathbf {r} }}$
• $\mathbf {Y} _{22}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }\,{\hat {\mathbf {r} }}$

• $\mathbf {\Psi } _{20}=-{\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}$
• $\mathbf {\Psi } _{21}=-{\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,e^{i\varphi }\,\left(\cos 2\theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+\mathrm {i} \cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right)$
• $\mathbf {\Psi } _{22}={\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \,e^{2i\varphi }\,\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+\mathrm {i} \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right)$

• $\mathbf {\Phi } _{20}=-{\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\sin \theta \,\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\phi } }}$
• $\mathbf {\Phi } _{21}={\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,e^{i\varphi }\,\left(\mathrm {i} \cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}-\cos 2\theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right)$
• $\mathbf {\Phi } _{22}={\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \,e^{2i\varphi }\,\left(-\mathrm {i} \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right)$

مراجع

روابط خارجية

• Vector Spherical Harmonics at Eric Weisstein's Mathworld