تعقد طوبولوجي

في الرياضيات، يتمثل التعقد الطوبولوجي للفراغ الطوبولوجي X (أيضًا يشار إليه بـ TC(X)) في غير المتغير الطوبولوجي المرتبط ارتباطًا وثيقًا بمسألة تخطيط الحركة ، الذي تم إدخاله من قبل ميشال فاربر عام 2003.

التعريف

بفرض أن X يمثل فراغًا طوبولوجيًا و$PX=\{\gamma :[0,1]\,\to \,X\}$ فراغ كل المسارات المستمرة في X. حدد الإسقاط $\pi :PX\to \,X\times X$ بواسطة $\pi (\gamma )=(\gamma (0),\gamma (1))$. ويكون التعقد الطوبولوجي هو أقل عدد لـ k بحيث أن

• في حالة وجود غطاء مفتوح $\{U_{i}\}_{i=1}^{k}$
• لكل $i=1,\ldots ,k$، يوجد مقطع محلي $s_{i}:\,U_{i}\to \,PX.$

أمثلة

• التعقد الطوبولوجي: TC(X)=1 فقط وإذا كان X قابلاً للانكماش.
• التعقد الطوبولوجي للكرة كرة ذات بعد نوني $S^{n}$ يساوي 2 عندما تكون n عددًا فرديًا ويساوي 3 عندما تكون n عددًا زوجيًا. على سبيل المثال، في حالة الدائرة $S^{1}$، يمكن أن نحدد مسارًا بين نقطتين ليكون جيوديسي، إذا كان فريدًا. ويمكن توصيل أي زوج من النقاط المتقابلة بمسار عكس اتجاه عقارب الساعة.
• إذا $F(\mathbb {R} ^{m},n)$ هو الفراغ الشكلي لـ n كنقاط متميزة في الفراغ الإقليدي m، إذن

$TC(F(\mathbb {R} ^{m},n))={\begin{cases}2n-1&\mathrm {for\,\,{\it {m}}\,\,odd} \\2n-2&\mathrm {for\,\,{\it {m}}\,\,even.} \end{cases}}$

• بالنسبة لزجاجة كلاين، فالتعقد الطوبولوجي غير معروف حتى (يوليو 2012).

مراجع

• Armindo Costa: Topological Complexity of Configuration Spaces, Ph.D. Thesis, Durham University (2010), online