تربيع الظل الزائدي للجيب الزائدي

تربيع الظل الزائدي للجيب الزائدي هو طريقة للتكامل العددي عُرِضَ بواسطة هيدتوسي تاكاسي وماساتاكي موري في عام 1974. يستخدم خصائص الدوال الزائدة في تغيير المتغيرات

$x=\tanh({\tfrac {1}{2}}\pi \sinh t)\,$

طريقة التكامل

لتحويل حدود التكامل من (+1، -1) إلى تكامل على كامل مستقيم الأعداد الحقيقية  (−∞,+∞). بعد هذا التحويل، يضمحل التكامل بواسطة معدل ضعف الأس، وتُعرَف هذه الطريقة أيضًا بـ طريقة ضعف الأس (double exponential (DE) formula).

وعلى حسب حجم الخطوة h  تقترب قيمة التكامل من القيمة الصحيحة له

$\int _{-1}^{1}f(x)\,dx\approx \sum _{k=-\infty }^{\infty }w_{k}f(x_{k}),$

$x_{k}=\tanh({\tfrac {1}{2}}\pi \sinh kh)$

$w_{k}={\frac {{\tfrac {1}{2}}h\pi \cosh kh}{\cosh ^{2}({\tfrac {1}{2}}\pi \sinh kh)}}.$

مثل التربيع الغاوسي, فإن تربيع الظل الزائدي للجيب الزائدي هو طريقة مناسبة تمامًا لحساب قيمة دقيقة للتكامل، حيث الدقة تصل إلى مئات أو آلاف الخانات. حيث إن معدل التقارب هو معادلة أسية.

تربيع الظل الزائدي للجيب الزائدي هو أقل كفاءة من التربيع الجاوسي، ولكن على العكس يميل التربيع الجاوسي إلى العمل بشكل جيد مع التكاملات ذات المشتقات اللا نهائية في واحد أو كلا طرفي حدود التكامل. وهناك ميزة أخرى هي أن حساب x وw سهل نسبيًا.

المراجع

• ديفيد اتش بيلي, "Tanh-Sinh High-Precision Quadrature". (2006).
• Pascal Molin, Intégration numérique et calculs de fonctions L (بالفرنسية), doctoral thesis (2010).
• David H. Bailey, Karthik Jeyabalan, and Xiaoye S. Li, "A comparison of three high-precision quadrature schemes". Experimental Mathematics, 14.3 (2005).
• David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, David Broadhurst, and Wadim Zudlin, Experimental mathematics and mathematical physics, in Gems in Experimental Mathematics (2010), American Mathematical Society, pp. 41–58.
• جوناتان بوروين, David H. Bailey, and Roland Girgensohn, Experimentation in Mathematics—Computational Paths to Discovery. A K Peters, 2003. ISBN 1-56881-136-5.
• Mori، Masatake (2005)، "Discovery of the double exponential transformation and its developments"، Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences، ج. 41، ص. 897–935، DOI:10.2977/prims/1145474600، ISSN:0034-5318. This paper is also available from here.
• Press، WH؛ Teukolsky، SA؛ Vetterling، WT؛ Flannery، BP (2007)، "Section 4.5. Quadrature by Variable Transformation"، Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (ط. 3rd)، New York: Cambridge University Press، ISBN:978-0-521-88068-8
• Takahasi، Hidetosi؛ Mori، Masatake (1974)، "Double exponential formulas for numerical integration"، Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences، ج. 9، ص. 721–741، DOI:10.2977/prims/1195192451، ISSN:0034-5318. This paper is also available from here.

وصلات خارجية

• John D. Cook ،"Double Exponential Integration" with source code.
• Graeme Dennes ،"Numerical Integration: Tanh-Sinh Quadrature v4.3"
• Tanh-Sinh integration (a,b) Calculator.
• Faster Integration with the Tanh-Sinh Method.